Taux de rendement interne

Objectif

Le taux de rendement interne répond à une seule question: à quel taux de rendement ce projet atteint-il exactement son seuil de rentabilité, et ce taux dépasse-t-il ce que nous exigeons de notre capital. C'est la question du feu vert. La valeur actuelle nette répond à une question voisine mais distincte, combien de valeur en francs, et les deux se lisent sur le même tableau de flux produit par l'analyse coûts-bénéfices. Le TRI est la racine de la fonction VAN, le taux d'actualisation particulier auquel cette fonction vaut zéro. Tout ce que le TRI ajoute à la VAN tient dans la conversion du résultat en pourcentage et dans ce que ce pourcentage rend possible.

Ce que ce pourcentage rend possible est double. Il autorise d'abord une décision d'acceptation par simple comparaison: si le TRI dépasse le taux de seuil minimal, le projet franchit la barre; sinon, il ne la franchit pas. Il autorise ensuite un classement: entre deux approches de solution de même durée, celle dont le TRI est le plus élevé est, sous conditions, la meilleure. C'est l'usage que le BABOK met explicitement en avant, comparer deux approches de solution sur la même période et recommander celle dont le taux de rendement interne est le plus haut.

Le livrable est un pourcentage par option, accompagné du taux de seuil auquel il se mesure et d'une phrase sur les hypothèses de flux dont il découle. Un TRI livré sans son taux de seuil est un chiffre sans verdict, et un TRI livré sans les flux qui l'ont produit est invérifiable.

Usage

Quand l'utiliser

• Le tableau de flux existe déjà: l'analyse coûts-bénéfices est faite, et l'on veut un pourcentage unique comparable au taux de seuil plutôt qu'un montant.
• Classer plusieurs approches de même durée et d'échelle comparable: à horizon et à mise de fonds voisins, le TRI le plus élevé désigne l'option à retenir.
• Communiquer à un décideur qui raisonne en taux: un pourcentage se compare d'emblée au coût du crédit ou au rendement attendu, là où un montant en francs demande un cadre pour être interprété.
• Flux conventionnels: une mise de fonds initiale suivie de bénéfices nets positifs, un seul changement de signe, garantissent un TRI unique et fiable.

Quand ne pas l'utiliser

• Flux non conventionnels, plusieurs changements de signe: la solution peut admettre plusieurs TRI ou aucun, aucun ne fait foi, passer à la valeur actuelle nette évaluée au taux de seuil.
• Options exclusives d'échelle ou de durée inégales: le classement par TRI peut contredire la valeur créée, trancher par la valeur actuelle nette, qui compare des francs et non des taux.
• Aucun taux de seuil fixé: sans coût du capital arrêté, le TRI n'a rien à quoi se mesurer, fixer d'abord le taux de seuil ou s'en tenir au délai de récupération en attendant.

Description

Le TRI est la racine de la VAN

Toute la mécanique tient dans une équation, celle de la valeur actuelle nette lue autrement. La VAN d'une suite de flux à un taux d'actualisation r s'écrit VAN(r) = −I + Σ CF_t / (1 + r)^t, où I est la mise de fonds initiale et CF_t le flux net de la période t. Le TRI est la valeur de r pour laquelle cette expression vaut zéro. Le BABOK l'énonce dans ces termes exacts: le calcul du TRI repose sur le taux d'intérêt auquel la VAN est nulle. Il n'y a donc rien à réactualiser ni à redémontrer sur la valeur temporelle de l'argent, qui est le domaine propre de la valeur actuelle nette: le TRI consomme la même formule et lui pose une autre question, résoudre en r au lieu d'évaluer à un r donné.

Cette différence d'orientation a une conséquence pratique immédiate. La VAN se calcule directement: on connaît le taux, on applique la formule. Le TRI, lui, ne se calcule pas directement au-delà de deux périodes, parce que l'équation devient un polynôme en (1 + r) sans solution analytique commode. On le trouve par approximations successives, une fonction de tableur (TRI, XIRR) ou une interpolation à la main entre deux taux d'essai, l'un donnant une VAN positive, l'autre négative, le TRI se logeant entre les deux. La seule étape qui ne change jamais est la vérification: on replace le taux trouvé dans la formule et l'on contrôle que la VAN retombe à zéro. C'est le contrôle qu'un tableur mal saisi fait échouer en premier.

La règle de décision et sa précondition

La règle d'acceptation est celle du BABOK, sans nuance: si le TRI de l'initiative est inférieur au taux de seuil, l'investissement ne doit pas être fait; s'il le dépasse, le projet est acceptable. La règle de classement suit: une fois la barre franchie, entre deux approches de même durée, on préfère le TRI le plus élevé. Le BABOK pose la condition de durée égale explicitement. Il en laisse une seconde tacite, et c'est elle qui fait tomber les débutants: l'échelle doit elle aussi être comparable. Deux projets de même durée mais de mise de fonds très différente ne se classent pas de manière fiable par leur seul taux, parce qu'un taux élevé sur une petite somme peut créer moins de valeur qu'un taux modeste sur une grande. Le classement par TRI n'est sûr qu'à durée et échelle voisines; dès que l'une des deux diverge, c'est la valeur actuelle nette qui tranche.

Le caractère interne et ses limites

Le TRI est dit interne parce qu'il ne dépend que des flux du projet lui-même. Le BABOK le souligne comme une limite à connaître: le TRI est interne à une organisation, il ne tient pas compte d'influences externes comme l'inflation, la fluctuation des taux d'intérêt ou l'évolution du contexte d'affaires. Un TRI de 12% est un taux nominal calculé sur des flux nominaux; il ne dit rien de la réalité de ces flux face à une inflation qui les éroderait ni d'un coût du capital qui monterait pendant la vie du projet. C'est précisément pour cela que le taux de seuil auquel on le compare doit intégrer ces éléments: c'est dans le taux de seuil que le contexte externe entre dans la décision.

Points de vigilance

Le TRI se calcule vite et inspire une confiance qui déborde son domaine de validité.

Le premier piège est celui des flux non conventionnels. L'équation VAN(r) = 0 est un polynôme de degré n en (1 + r), et la règle des signes de Descartes borne le nombre de racines positives par le nombre de changements de signe de la suite de flux. Une mise de fonds suivie de bénéfices, un seul changement de signe, donne un TRI unique. Mais une suite qui repasse en négatif, un gros paiement de démantèlement ou de remise en état en fin de vie, un investissement de renouvellement en cours de route, peut en donner plusieurs. Une suite de CHF −100'000 en année 0, +CHF 310'000 en année 1 et −CHF 220'000 en année 2 possède deux changements de signe et deux TRI mathématiquement valables: 10% et 100%. On le vérifie en posant x = 1 + r, ce qui donne −100'000 x² + 310'000 x − 220'000 = 0, soit 10 x² − 31 x + 22 = 0, dont les racines sont x = 1.1 et x = 2. À 10% comme à 100%, la VAN de cette suite est exactement nulle. Aucun des deux taux ne fait foi, et la sortie est d'abandonner le TRI pour évaluer la VAN au taux de seuil réel de l'organisation, qui, elle, donne un verdict unique.

Le deuxième piège est celui des options exclusives d'échelle inégale, où le classement par TRI contredit le classement par valeur. Soit un pilote et un déploiement complet de la même initiative sur un an, à comparer au taux de seuil de 8%.

Ces deux options ont la même durée, un an, et la règle du BABOK passerait donc son test de durée. Elle échoue pourtant, parce que l'échelle diffère d'un facteur dix. Le critère de départage est la valeur actuelle nette.

Le troisième piège est l'hypothèse de réinvestissement. Le classement par TRI suppose implicitement que chaque flux intermédiaire est réinvesti au TRI lui-même jusqu'à la fin du projet. Un projet calculé à 12% suppose donc que l'organisation replacera chaque encaissement annuel à 12%, ce qui est rarement vrai: son opportunité réelle de réinvestissement est plus proche de son coût du capital. Le taux de rendement interne modifié (TRIM, MIRR) corrige ce biais en réinvestissant chaque flux intermédiaire au taux de seuil jusqu'au terme, en sommant ces montants en une valeur terminale, puis en prenant la racine n-ième du rapport à la mise de fonds. Sur l'option A (CHF 50'000 par an sur trois ans, taux de seuil 8%), la valeur terminale est 50'000 × 1.08² + 50'000 × 1.08 + 50'000 = CHF 162'320, et le TRIM vaut (162'320 / 120'100)^1/3 − 1 ≈ 10.56%, contre un TRI de 12.00%. Le TRIM tombe sous le TRI, exactement dans le sens que la critique annonce: réinvestir aux 8% réalistes plutôt qu'aux 12% du projet abaisse le rendement annualisé. Quand le TRI d'un projet ressort nettement au-dessus du coût du capital, c'est le TRIM qui donne le chiffre défendable.

Considérations IA

Le gain est net sur la partie mécanique. Un modèle de langue relié à un tableur construit et contrôle la formule de flux, écrit la fonction de TRI ou de XIRR et, surtout, exécute la vérification que la technique exige: replacer le taux trouvé dans la formule et confirmer que la VAN retombe à zéro. Il repère aussi ce qu'un humain pressé néglige, le nombre de changements de signe de la suite de flux, et signale d'emblée une suite non conventionnelle qui appelle la prudence sur l'unicité du TRI. Il calcule sans effort le TRIM et pose côte à côte les deux chiffres, TRI et TRIM, qui rendent l'hypothèse de réinvestissement visible. Sur ce terrain arithmétique, la machine est plus rapide et plus fiable que le calcul manuel de fin d'atelier.

Trois décisions lui échappent: celles qui font l'analyse. Le choix du taux de seuil est un jugement d'affaires: il incorpore le coût du capital, le risque du projet et le contexte externe que le TRI, par construction, ignore. La plausibilité des flux projetés eux-mêmes est une question sur cette organisation et son marché: un TRI impeccable calculé sur des bénéfices optimistes est un chiffre juste sur des données fausses. Et la décision d'acceptation à la marge, quand le TRI frôle le taux de seuil, engage une appréciation du risque que l'écart de quelques dixièmes de point ne tranche pas seul. Le modèle produit le pourcentage; il ne décide pas si l'on y va.

Exemples

Une PME de mécanique de précision de l'Arc jurassique vaudois évalue deux approches pour automatiser le contrôle qualité à la réception des marchandises, aujourd'hui manuel. Les deux courent sur le même horizon de trois ans. Le taux de seuil de l'entreprise est de 8%, son coût mixte du crédit bancaire et des fonds propres.

L'option A est un système de vision industrielle complet: CHF 120'100 investis en année 0, un bénéfice net (main-d'œuvre économisée et rebut évité) de CHF 50'000 par an. L'option B est un contrôle par échantillonnage assisté par caméra: CHF 88'600 investis, un bénéfice net de CHF 35'000 par an, plus faible car il détecte moins de défauts.

Trouver le TRI, c'est chercher le taux qui annule la VAN de chaque colonne. Il vaut 12.00% pour l'option A et 9.00% pour l'option B. La vérification consiste à actualiser les trois bénéfices à ce taux et à confirmer que leur somme égale la mise de fonds.

Les deux TRI dépassent le taux de seuil de 8%: les deux investissements sont acceptables. Comme la durée est identique, trois ans, et l'échelle voisine, la règle de classement s'applique sans risque de conflit, et l'option A l'emporte, son TRI de 12.00% dépassant les 9.00% de l'option B. La valeur actuelle nette confirme le même ordre, sans le contredire: à 8%, la VAN de l'option A vaut CHF 8'755 contre CHF 1'598 pour l'option B. Le classement par TRI et le classement par valeur coïncident parce que ni l'échelle ni la durée ne divergent, la situation où le TRI est un critère de classement sûr.

Visualisations

Le profil de VAN est la représentation qui montre ce que le TRI est. Un histogramme de deux pourcentages donne le classement, il ne dit rien de sa signification ni de sa fragilité. La courbe, elle, porte quatre lectures dans une seule image.

• Le croisement avec l'axe zéro est le TRI: c'est la définition rendue visible, le taux d'actualisation où la VAN passe de positive à négative.
• La ligne verticale du taux de seuil tranche l'acceptation: une courbe qui coupe zéro à droite de cette ligne franchit la barre, une courbe qui la coupe à gauche échoue.
• La pente de la courbe à son croisement dit la sensibilité: une VAN qui plonge raide autour du TRI signale un projet dont le verdict change vite avec le taux, donc à examiner de plus près si le coût du capital est incertain.
• Un second croisement de la même courbe rend le piège des flux non conventionnels immédiatement visible: deux passages par zéro, deux TRI et le signe que le pourcentage seul ne suffit plus.

Le tableau de flux et les tableaux de vérification sont l'autre moitié de la visualisation. Le premier montre les suites qui alimentent le calcul, les seconds montrent la seule opération qui fait foi, replacer le taux dans la formule et voir la VAN retomber à zéro. Ensemble, la courbe et les tableaux disent la définition, la vérification et la décision.

Coût

Outils

Le tableur est l'outil par défaut, et il suffit dans la quasi-totalité des cas. Excel, Google Sheets et LibreOffice Calc embarquent les fonctions TRI (flux à intervalles réguliers), XIRR (dates irrégulières) et TRIM (taux de rendement interne modifié, avec un taux de réinvestissement explicite). Les trois font en une formule ce que le calcul manuel fait par approximations, et la fonction TRIM est le seul moyen simple de rendre l'hypothèse de réinvestissement explicite plutôt que subie.

Le graphique du profil de VAN, tracé dans le même tableur, mérite d'être connu comme outil de diagnostic autant que d'illustration. En calculant la VAN pour une série de taux et en la portant en courbe, on voit d'un coup d'œil le croisement, donc le TRI, et surtout l'on détecte un second croisement, donc un cas de TRI multiple qu'une fonction de tableur signalerait au mieux par un message d'erreur ou, au pire, en ne renvoyant qu'une seule des racines selon le taux d'amorçage fourni.

Les logiciels de planification financière et d'évaluation de projets à modules d'analyse d'investissement prennent le relais pour un portefeuille d'options à comparer et à suivre dans le temps, là où la maintenance de dizaines de modèles de tableur devient elle-même un risque. Au-delà, le TRI ne demande aucun outillage spécialisé de business analyse: il se lit sur les mêmes flux que la valeur actuelle nette et l'analyse coûts-bénéfices, et ce sont ces techniques qui portent le coût de l'outillage.

Sources

• IIBA, A Guide to the Business Analysis Body of Knowledge (BABOK Guide) v3, §10.20 Financial Analysis: la définition du TRI comme taux auquel un investissement atteint son seuil de rentabilité, la règle de comparaison au taux de seuil, la règle de classement des options de même durée, le caractère interne de la mesure et sa formule (le taux auquel la VAN est nulle).
• Aswath Damodaran, NYU Stern School of Business, Capital Budgeting: le TRI comme taux d'actualisation annulant la VAN, la règle d'acceptation (accepter si TRI supérieur au taux d'actualisation), le problème des TRI multiples sur flux non conventionnels, l'hypothèse de réinvestissement et le taux de rendement interne modifié (TRIM) comme correctif.
• Project Management Institute, PMBOK Guide, 8^e édition, §2.4.1 Finance Performance Domain: le TRI comme l'une des mesures financières de valeur nommées par le PMI, aux côtés du retour sur investissement et du délai de récupération.