Simulation de Monte-Carlo

Objectif

Le PMBOK Guide fait de la simulation de Monte-Carlo la technique de simulation la plus courante de l'analyse quantitative des risques. Cette analyse mesure l'effet combiné des risques identifiés et des autres incertitudes sur la date de fin et le coût du projet.

Un planning établi par la méthode du chemin critique additionne des durées uniques et rend une date. Cette date ne dit pas quelle chance le projet a de la tenir. Dans l'exemple plus bas, la date calculée tombe au 7e centile: 93 tirages sur 100 finissent plus tard.

La technique soutient ces décisions: la date ou le budget que le sponsor engage, avec son niveau de confiance; la taille de la réserve pour aléas; les activités et les risques à surveiller de près. Ses livrables sont la courbe en S de la date de fin ou du coût et l'indice de criticité de chaque activité.

Usage

Quand l'utiliser

• Date ou budget à engager devant un sponsor: annoncer un niveau de confiance avec le chiffre.
• Réseau à plusieurs chemins qui convergent: seul le tirage mesure le retard que la convergence ajoute.
• Réserve pour aléas à dimensionner: la lire sur un centile choisi plutôt que la fixer en pourcentage.
• Registre des risques chiffrables: mesurer leur effet combiné sur la date de fin, que la cotation risque par risque ne donne pas.
• Passage de jalon: relancer la simulation sur le travail restant avant de confirmer ou de décaler la date.
• Enjeu élevé face au coût de l'analyse: quelques jours de préparation contre un contrat à prix forfaitaire ou une date réglementaire.

Quand ne pas l'utiliser

• Projet court à un seul chemin, enjeu faible: l'estimation à trois points (PERT) donne la fourchette sans outil dédié.
• Question sur la décision d'affaires elle-même: marge, tarif ou valeur actuelle nette relèvent de la simulation décisionnelle.

Description

Trois techniques portent le nom de simulation

La simulation de Monte-Carlo de projet, la simulation décisionnelle et la simulation de processus répondent à trois questions différentes. Les trois tirent au hasard dans des distributions. Elles se séparent par l'objet qu'elles modélisent: le réseau d'un planning ou le découpage d'un budget, une formule d'affaires, un processus exécutable avec ses files.

Le modèle: un réseau, des plages, des risques

Le modèle de planning est le réseau de la méthode du chemin critique. Chaque activité y a au moins un prédécesseur et un successeur, et aucune date imposée ne remplace une dépendance. Une activité sans successeur absorbe tout retard sans le transmettre; une date imposée fixe l'activité quel que soit le retard tiré pour ses prédécesseurs.

Chaque activité incertaine reçoit une distribution de probabilité: les durées qu'elle peut prendre et la vraisemblance de chacune. Le Practice Standard for Scheduling du PMI règle sa largeur sur la confiance de l'estimateur: plus il est sûr, plus elle est étroite. En pratique, l'analyste demande trois valeurs par activité, le minimum, la plus probable et le maximum, puis choisit une loi triangulaire ou bêta-PERT, celle de l'estimation à trois points. Il demande les extrêmes avant la valeur la plus probable, pour que l'expert ne resserre pas ses bornes autour d'elle; la simulation décisionnelle détaille cette élicitation.

Les risques du registre entrent à part. Une plage de durée joue à chaque tirage. Un risque ne survient que dans une partie des tirages: on lui donne une probabilité d'occurrence et une plage d'impact, et on l'accroche à l'activité qu'il retarde. L'analyse et gestion des risques tient ce registre; un risque coté seulement « élevé » doit d'abord recevoir des chiffres.

Par défaut, les outils tirent chaque élément indépendamment. Deux activités qui dépendent de la même équipe ou du même fournisseur prennent du retard ensemble; l'analyste déclare ce lien au modèle par une corrélation. Sur un budget, l'ignorer rend la distribution trop étroite; le GAO, l'office d'audit du Congrès américain, écrit qu'il en résulte un faux sentiment de confiance dans l'estimation. Sur un planning, l'effet dépend de la place des activités: sur une chaîne en série, l'indépendance resserre la distribution; sur des branches parallèles qui dépendent de la même cause, elle exagère le biais de convergence décrit plus bas.

Une itération, puis dix mille

Une itération tire une durée pour chaque activité et décide pour chaque risque s'il survient. L'outil refait alors la passe avant de la méthode du chemin critique, le calcul des dates au plus tôt, puis note la date de fin et les activités critiques. Le Practice Standard décrit chaque itération comme une instance possible du planning, avec son propre chemin critique.

Quelques milliers d'itérations donnent la distribution des dates de fin. L'indice de criticité d'une activité est la part des itérations où elle était critique. Une activité hors du chemin critique déterministe peut obtenir un indice plus élevé que celles du chemin; le suivi, réglé sur le chemin déterministe, l'oublie. On fixe la graine du générateur aléatoire pour que la simulation se rejoue à l'identique.

Le biais de convergence

Là où plusieurs chemins parallèles convergent, l'activité suivante attend le dernier arrivé. Si trois branches ont chacune 80% de chances de finir à temps et qu'elles sont indépendantes, la probabilité que les trois finissent à temps est de 0,8 × 0,8 × 0,8, soit 51%. C'est le biais de convergence (merge bias).

L'estimation à trois points calcule la fourchette d'un seul chemin, le chemin critique. Selon le Practice Standard, PERT ne reconnaît pas que des chemins parallèles ajoutent du risque aux points de convergence, et seule une simulation en mesure l'ampleur. Sur le réseau de l'exemple, sans le risque R1, PERT sur A-B-E donne une moyenne de 47,8 jours et un écart-type de 3,8 jours; la loi normale place 45 jours à 23%. La simulation, sur les mêmes plages, en donne 9%. La moyenne PERT dépasse déjà la somme des valeurs les plus probables, 45 jours, parce que les plages s'étirent vers la droite.

Lire la courbe en S

L'histogramme compte les itérations par date de fin. Sa courbe cumulée est la courbe en S: à chaque date, la part des itérations qui finissent ce jour-là ou avant. Le centile P80 est la date que 80% des itérations ne dépassent pas. Le PMBOK Guide donne en exemple un projet qui a 10% de chances de finir au plus tard le 13 mai 2027 et 90% au plus tard le 28 mai 2027.

La première lecture situe la date du planning déterministe sur la courbe. La seconde donne la date à chaque niveau de confiance: P50, P80, P90. Le sponsor choisit le niveau selon le risque de dépassement qu'il accepte. L'analyste fournit la courbe; il ne choisit pas le centile.

Dimensionner la réserve pour aléas

La réserve pour aléas (réserve pour imprévus, contingency reserve) est le temps ou l'argent inscrit dans la référence de base du planning ou du coût pour les risques connus. Pour le coût, le PMBOK Guide admet qu'on la fixe en pourcentage, en montant forfaitaire ou par une méthode d'analyse quantitative. La simulation fournit la troisième voie: la réserve est l'écart entre la valeur au centile choisi et celle du plan déterministe.

La réserve de gestion (management reserve) reste hors de ce calcul. Elle couvre les inconnues que personne n'a identifiées, se tient hors de la référence de base et se libère en général sur décision de la direction.

Le budget: la même mécanique sur la structure de découpage

Le guide d'estimation des coûts du GAO applique le même procédé au budget. Chaque élément de la structure de découpage du projet (WBS) reçoit une distribution de coût. Chaque itération tire un coût par élément et fait la somme. La répétition donne une courbe en S du coût total, lue comme un niveau de confiance face à un montant. Dans l'exemple du GAO, la médiane vaut USD 908'000; un chef de programme qui veut 70% de confiance budgète USD 1'096'000. L'écart avec l'estimation ponctuelle, voisine de USD 825'000, vaut environ USD 271'000: c'est la réserve pour aléas du coût.

Répéter l'analyse

Selon le PMBOK Guide, l'analyse quantitative se conduit tout au long du projet, quand le projet la demande. À chaque jalon, les durées réalisées remplacent les plages des activités terminées, et l'on simule le travail restant. La courbe se resserre à mesure que le projet avance. Un P80 qui recule d'une simulation à la suivante signale que le projet consomme sa réserve plus vite qu'il n'avance.

Les pièges

Le planning qui n'est pas un réseau

La simulation d'un planning à dates imposées ou à activités sans successeur rend une courbe raide et rassurante. Avant la première simulation, on vérifie que chaque activité, hormis les jalons de début et de fin, a un prédécesseur et un successeur. Chaque date imposée devient un jalon, relié au réseau par sa propre dépendance. Les modules de risque des outils de planification produisent ce contrôle sous forme de rapport avant le tirage.

Les plages trop étroites

Un expert qui donne 20, 22 et 24 jours pour une activité qu'il n'a jamais faite annonce une confiance qu'il n'a pas. Des plages étroites produisent une courbe étroite, qui passe pour un résultat solide. On confronte chaque plage aux durées réalisées sur des projets comparables quand elles existent, et on écrit sa provenance.

Le P80 pris pour une promesse

Le P80 vaut pour le modèle: ce réseau, ces plages, ces risques. Il ne couvre ni un changement de périmètre ni un risque que personne n'a identifié. Le rapport écrit le centile avec ses hypothèses, et la réserve de gestion reste une ligne distincte.

La corrélation oubliée

Dix lots de travaux confiés au même fournisseur, tirés comme indépendants, compensent entre eux les retards et les avances. La courbe en sort trop étroite. On déclare les corrélations que le métier connaît, ou l'on écrit l'hypothèse d'indépendance dans le rapport.

Considérations IA

Un modèle de langue écrit le script de simulation: une centaine de lignes de Python qui lisent un export du planning, tirent les durées, refont la passe avant et comptent les chemins critiques. Un analyste qui ne programme pas obtient ainsi un outil rejouable. Avant de s'y fier, il le lance sur des réseaux dont il connaît la réponse. Sur une seule chaîne d'activités en loi triangulaire, la moyenne simulée doit égaler la somme des (min + probable + max)/3. Sur deux branches identiques et indépendantes qui convergent, la part des itérations qui finissent avant la médiane d'une branche doit valoir 25%, soit 0,5 × 0,5. Le même modèle de langue contrôle un export du planning et liste les activités sans successeur et les dates imposées.

Il aide aussi à préparer les plages. Sur un historique de projets comparables, il propose un minimum, une valeur probable et un maximum par type d'activité, que le responsable de l'activité corrige. La plage reste marquée « proposée » tant que personne ne l'a reprise à son compte. En aval, il rédige le rapport à partir des centiles et des indices que l'outil a calculés.

Un modèle de langue interrogé sur la date P80 d'un projet répond par un chiffre plausible sans avoir tiré une seule itération. Les budgets, les prix des fournisseurs et les risques contractuels restent hors des services en ligne dont l'organisation ne maîtrise pas les conditions d'usage.

Exemples

Une commune vaudoise ouvre un guichet en ligne. Le planning déterministe, bâti sur les valeurs les plus probables, donne 45 jours ouvrables: 10 + 25 + 10 par le chemin A-B-E.

Le sponsor demande 80% de confiance: la commune engage 55 jours ouvrables, dont 10 de réserve pour aléas. Le planning déterministe désignait B comme critique; la simulation désigne D, parce que R1 l'allonge dans un quart des itérations. La commune suit donc D chaque semaine et relance le canton.

Visualisations

L'histogramme et sa courbe en S disent à quel niveau de confiance une date ou un budget tient. L'indice de criticité, activité par activité, dit quel chemin est le plus long le plus souvent. Le diagramme en tornade de l'analyse de sensibilité classe les entrées selon leur corrélation avec la date de fin et dit laquelle la déplace le plus. Le PMBOK Guide en donne un exemple, gradué en corrélation avec la durée du projet.

Criticité et sensibilité se lisent sur les mêmes itérations et répondent à deux questions. Sur le guichet en ligne, l'indice désigne D, critique dans 47% des itérations; la tornade désigne R1, dont la corrélation avec la durée du projet vaut 0,50. La migration C ne déplace presque pas la date.

Un rapport de simulation reçu se contrôle ainsi. Où tombe la date du planning déterministe sur la courbe? Qui a choisi le niveau de confiance? Le modèle contient-il les risques du registre et les corrélations connues ou seulement des plages de durée?

Coût

Outils

Les modules de risque des outils de planification (Primavera Risk Analysis d'Oracle, Safran Risk, Deltek Acumen Risk) lisent le réseau du planning, portent les plages et les risques et rendent la courbe en S, l'indice de criticité et le diagramme en tornade. Ils conviennent aux plannings de plusieurs centaines d'activités.

Pour le budget, les modules de simulation pour tableur (@RISK de Lumivero, Crystal Ball d'Oracle) tirent les coûts de la structure de découpage dans le classeur que le contrôle de gestion utilise déjà.

Un script Python avec NumPy couvre un réseau de quelques dizaines d'activités en une centaine de lignes. R offre les mêmes fonctions de tirage. Le script se versionne et documente le modèle.

Sources

• PMI, A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK Guide), 8e éd., §2.7.2.3 Perform Risk Analysis, §2.4 (Reserves) et Section 5, entrées Simulation, Sensitivity analysis et Reserve analysis, glossaire: la simulation comme outil de l'analyse quantitative des risques, Monte-Carlo comme sa forme la plus courante, la distribution de la date de fin, le diagramme en tornade, la réserve pour aléas et la réserve de gestion.
• PMI, Practice Standard for Scheduling, sections Monte Carlo Simulation et Schedule Risk: la distribution par activité réglée sur la confiance de l'estimateur, l'itération comme instance du planning, le biais de convergence que PERT ne voit pas.
• U.S. Government Accountability Office, Cost Estimating and Assessment Guide, GAO-20-195G, 2020, chapitre 12: la simulation appliquée au coût, la courbe en S lue en niveau de confiance, la réserve pour aléas et la corrélation entre éléments de coût.