Processus d'analyse hiérarchique (AHP)

Objectif

Le processus d'analyse hiérarchique répond à une classe précise de décisions: choisir entre plusieurs options jugées sur plusieurs critères qui tirent dans des sens opposés, quand aucun chiffre unique, ni le prix ni le score, ne suffit à trancher. Coût contre couverture fonctionnelle contre risque contre adéquation stratégique: le décideur sent qu'un critère pèse plus qu'un autre sans savoir dire combien, et c'est ce combien que l'AHP produit. Le BABOK range la technique parmi les approches d'analyse décisionnelle (§10.16), aux côtés de la matrice de décision et de l'analyse pour et contre, comme un outil de choix sous critères multiples.

La méthode fait trois choses qu'une pondération directe ne fait pas. Elle décompose le problème en une hiérarchie objectif-critères-options, ce qui isole chaque jugement. Elle dérive les poids des critères à partir de comparaisons deux à deux, parce qu'un être humain compare deux éléments plus sûrement qu'il n'attribue un pourcentage à sept d'un coup. Elle audite ces jugements par un ratio de cohérence, une mesure de leur contradiction interne. Le livrable est un jeu d'options classé, adossé à des poids de critères défendables et à la preuve chiffrée que les jugements qui les ont produits se tiennent.

Usage

Quand l'utiliser

• Choix à fort enjeu sur critères conflictuels et partiellement intangibles: coût, qualité, risque et adéquation qu'aucun montant unique ne départage.
• Poids des critères contestés ou flous: les parties prenantes ne savent pas dire « 40% » mais savent juger qu'un critère l'emporte nettement sur un autre.
• Décision qui doit être défendable et auditable: un achat ou un arbitrage de gouvernance où le raisonnement se montre, ratio de cohérence à l'appui.
• Décision de groupe à priorités divergentes: les comparaisons s'élicitent par partie prenante puis s'agrègent par moyenne géométrique.

Quand ne pas l'utiliser

• Décision peu coûteuse ou réversible: la charge des comparaisons deux à deux est disproportionnée, préférer une matrice de décision pondérée ou une analyse pour et contre.
• Nombreux critères ou nombreuses options: le nombre de comparaisons explose et la fatigue corrompt les jugements, préférer une analyse multicritère conçue pour l'échelle.
• Enjeu dominé par l'incertitude et le hasard: l'AHP pondère des préférences, il ne modélise pas la probabilité, préférer un arbre de décision sous l'analyse décisionnelle.

Description

Structurer la décision en hiérarchie

Tout commence par une hiérarchie à trois niveaux. L'objectif occupe le sommet, en un énoncé unique: choisir le logiciel, sélectionner le fournisseur, retenir l'option de solution. Les critères forment le niveau intermédiaire, les facteurs sur lesquels le choix se juge, et un critère peut lui-même se subdiviser en sous-critères s'il le faut. Les options occupent le bas, les candidats concrets, chacun destiné à être évalué selon chaque critère. Cette décomposition sépare des jugements qui, mélangés, se contamineraient, et elle rend chaque comparaison locale et donc gérable.

La machinerie de comparaison s'applique deux fois dans cette structure. Une première fois pour pondérer les critères les uns par rapport aux autres, ce qui donne l'importance relative de chaque critère. Une seconde fois, critère par critère, pour comparer les options entre elles sous ce critère, ce qui donne la performance relative de chaque option sur chacun. Le classement final combine les deux: le score d'une option est la somme, sur tous les critères, de son poids sous le critère multiplié par le poids du critère. Le mécanisme s'illustre le plus simplement sur la pondération des critères, le classement des options employant la même arithmétique.

Comparer par paires sur l'échelle fondamentale de Saaty

Pour chaque couple d'éléments d'un même niveau, le décideur juge l'intensité avec laquelle l'un l'emporte sur l'autre, sur l'échelle fondamentale de 1 à 9 de Saaty. Un 1 dit une importance égale, un 3 une importance modérée de l'un sur l'autre, un 5 une importance forte, un 7 une importance très forte, un 9 une importance extrême. Les valeurs paires, 2, 4, 6 et 8, servent d'intermédiaires quand un jugement tombe entre deux crans. Ces jugements remplissent une matrice carrée de dimension n pour n éléments comparés, gouvernée par trois règles. La diagonale vaut 1, tout élément étant d'importance égale à lui-même. La matrice est réciproque: si le coût l'emporte sur le support avec l'intensité 5, alors le support face au coût vaut 1/5, et chaque cellule sous la diagonale est l'inverse de sa symétrique. Il en résulte que le décideur ne saisit que les cellules au-dessus de la diagonale, soit n(n − 1)/2 comparaisons: trois critères en demandent 3, sept en demandent 21, dix en demandent 45. Ce compte gouverne à lui seul le coût de la technique et sa limite d'échelle.

Dériver les poids de priorité

La matrice de jugements se convertit en un vecteur de priorités, un poids par élément, dont la somme vaut 1. La forme exacte est le vecteur propre principal de la matrice, le vecteur propre associé à sa plus grande valeur propre, et c'est lui que calcule un logiciel. À la main, une approximation en trois étapes suffit et éclaire la logique. On somme chaque colonne. On normalise chaque cellule en la divisant par la somme de sa colonne, de sorte que chaque colonne somme désormais à 1. On moyenne chaque ligne de la matrice normalisée, et ces moyennes de lignes sont les poids cherchés, qui somment à 1. Cette approximation par moyenne des colonnes normalisées est exacte quand la matrice est parfaitement cohérente et très proche du vecteur propre sinon: c'est la bonne méthode pour un exemple lisible à la main, à condition d'annoncer qu'il s'agit d'une approximation du vecteur propre.

Contrôler la cohérence

Des jugements humains n'ont aucune raison d'être parfaitement transitifs. Si le coût vaut deux fois le support et le support trois fois autre chose, la stricte cohérence voudrait un rapport de six, mais une personne pourra dire quatre ou huit. L'AHP ne l'interdit pas, il le mesure. On calcule d'abord λmax, la plus grande valeur propre: à la main, on multiplie la matrice par le vecteur de poids, on divise chaque composante du résultat par le poids correspondant, et on moyenne. Pour une matrice cohérente λmax vaut n, et il lui est toujours supérieur ou égal. On en tire l'indice de cohérence, CI = (λmax − n)/(n − 1), puis le ratio de cohérence, CR = CI/RI, où RI est l'indice aléatoire de Saaty, le CI moyen d'un grand nombre de matrices réciproques remplies au hasard du même ordre. Ses valeurs de référence sont 0,58 pour n = 3, 0,90 pour n = 4, 1,12 pour n = 5 et 1,24 pour n = 6 (n = 1 et n = 2 sont trivialement cohérents, RI y vaut 0 et le ratio ne se calcule pas). Le seuil usuel est CR ≤ 0,10: en deçà, les jugements sont assez cohérents pour être retenus, au-delà, il faut retrouver le jugement le plus contradictoire et le revoir.

Les pièges

La portée du ratio de cohérence

Le ratio mesure la cohérence interne des jugements. Une matrice fabriquée de toutes pièces peut être parfaitement cohérente et parfaitement fausse: un CR bas atteste la logique des comparaisons, il ne dit rien des préférences qu'elles expriment.

Explosion des comparaisons

Les n(n − 1)/2 comparaisons, multipliées par un tour d'options sous chaque critère, saturent vite le décideur, et un décideur fatigué remplit la matrice au hasard. C'est la borne d'échelle de la technique.

Inversion de rang

Ajouter ou retirer une option peut réordonner des options non concernées, un effet contre-intuitif propre à la synthèse par agrégation. Fixer le jeu d'options avant de comparer et se méfier d'un classement qui bascule quand la liste bouge.

Fausse précision

Des poids à trois décimales issus de jugements verbaux grossiers habillent une opinion en mesure. Les chiffres sont aussi solides que les comparaisons qui les nourrissent.

Considérations IA

L'AHP a un cœur purement arithmétique et une couche irréductiblement humaine, et la frontière entre les deux dit où une assistance sert et où elle nuit. Du côté arithmétique, l'aide est nette. Calculer le vecteur propre, λmax, l'indice et le ratio de cohérence est un travail que la machine fait sans erreur et instantanément, là où le calcul à la main est fastidieux et faillible. Un outil signale sur-le-champ un CR au-dessus de 0,10, et mieux, il désigne le jugement le plus incohérent et propose la révision qui réduirait le plus le ratio, la logique de réparation de Saaty étant algorithmique. Sur une décision de groupe, il agrège par moyenne géométrique les matrices de plusieurs parties prenantes et fait ressortir les couples où elles divergent le plus. En amont, un modèle de langage propose un premier jet de critères et de sous-critères à partir d'un énoncé de problème, que l'analyste taille ensuite.

La couche humaine ne se délègue pas. Les comparaisons par paires sont les préférences des parties prenantes: « de combien le coût importe-t-il plus que le support » est un jugement de valeur que l'AHP existe pour capter auprès de ceux qui possèdent la décision. Une comparaison fabriquée par une IA produit un résultat mathématiquement propre et fondé sur rien, et le ratio de cohérence ne le détecte pas, puisqu'une matrice inventée peut être cohérente. Le choix des critères eux-mêmes, lesquels comptent et à qui ils appartiennent, est la décision de cadrage: la confier à un outil enfouit un arbitrage de valeurs dans une mécanique. La machine tient l'arithmétique et les diagnostics, elle ne fournit pas les priorités.

Exemples

Une PME de Suisse romande choisit un logiciel de gestion de projet en mode hébergé. Avant de classer les fournisseurs, elle pondère ses trois critères l'un contre l'autre: le coût, les fonctionnalités et le support local. Les jugements se lisent ainsi: le coût l'emporte modérément sur les fonctionnalités (3) et fortement sur le support (5), les fonctionnalités l'emportent modérément sur le support (3). Ces trois jugements au-dessus de la diagonale suffisent à remplir la matrice, la diagonale valant 1 et les cellules du bas étant les réciproques.

Les poids se lisent d'une phrase: le coût domine la décision, à près de 63%, les fonctionnalités viennent ensuite, à 26%, le support local reste un critère d'appoint, à 11%. Le ratio de cohérence, à 0,033, tient largement sous le seuil de 0,10, donc les trois jugements se tiennent et les poids sont retenus tels quels. Ce sont ces poids qui serviront à combiner les scores des fournisseurs, chacun ayant été comparé aux autres sous chaque critère par la même mécanique, pour produire le classement final. Un CR qui aurait dépassé 0,10 aurait renvoyé le décideur à sa matrice, pour retrouver la comparaison qui se contredit avec les deux autres et la reposer, avant tout classement.

Visualisations

Deux représentations portent la technique, et elles montrent deux choses différentes. La hiérarchie objectif-critères-options, en boîtes reliées, montre la décomposition qui définit l'AHP: un objectif unique en haut, les critères au milieu, les options en bas, chaque option reliée à chaque critère. C'est le modèle de la décision, celui qui dit où s'appliquent les comparaisons, et il sert d'illustration d'en-tête autant que de repère dans le corps.

La matrice de comparaison et ses poids, en lignes et colonnes, est l'artefact que la technique produit, et c'est pourquoi elle est rendue en tableau: les jugements deux à deux, les réciproques sous la diagonale, la colonne des poids dérivés et, en légende, le ratio de cohérence qui atteste que les jugements se tiennent. Un relecteur recalcule les poids et le ratio à partir des seules cellules de jugement, ce qu'un tableau permet et qu'une image interdirait.

Coût

Outils

Le tableur suffit à une hiérarchie modeste: une feuille tient la matrice, les sommes de colonnes, la normalisation, la moyenne des lignes et le calcul de λmax, de l'indice et du ratio de cohérence, et tout se recalcule dès qu'un jugement change. C'est l'outil du premier passage et de l'exemple pédagogique.

Les logiciels dédiés à l'AHP (Super Decisions, publié par la Creative Decisions Foundation de Saaty, Expert Choice, l'extension AHP de la famille des outils de décision) tiennent la hiérarchie complète, calculent le vecteur propre exact plutôt que l'approximation, signalent le jugement le plus incohérent et gèrent l'agrégation de plusieurs décideurs. Ils s'imposent dès que les critères, les sous-critères et les options se multiplient.

Les plateformes d'analyse multicritère et d'aide à la décision plus larges intègrent l'AHP parmi d'autres méthodes de pondération et de classement, utile quand l'organisation veut comparer le résultat de l'AHP à celui d'une autre approche, ou quand l'AHP ne sert qu'à produire les poids d'un modèle de décision plus vaste.

Sources

• IIBA, A Guide to the Business Analysis Body of Knowledge (BABOK Guide) v3, §10.16 Decision Analysis: l'inscription de l'AHP parmi les approches d'analyse décisionnelle sous critères multiples. Le BABOK nomme la technique et la situe, il n'en décrit pas la mécanique, qui est celle de Saaty.
• Thomas L. Saaty, A scaling method for priorities in hierarchical structures, Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 1977, 234-281: l'article fondateur, l'échelle fondamentale de 1 à 9, les priorités par vecteur propre et la mesure de cohérence.
• Thomas L. Saaty, The Analytic Hierarchy Process: Planning, Priority Setting, Resource Allocation, McGraw-Hill, 1980: l'ouvrage qui nomme et codifie la méthode, la hiérarchie, les comparaisons par paires, la synthèse des priorités et l'indice aléatoire.
• Thomas L. Saaty, Decision making with the analytic hierarchy process, International Journal of Services Sciences, 1(1), 2008, 83-98: la reformulation compacte et tardive de la méthode, hiérarchie, comparaisons, priorités, cohérence et synthèse, et le seuil de 0,10 sur le ratio de cohérence.