PERT

Objectif

L'estimation à trois points demande à celui qui connaît le travail les trois bornes entre lesquelles il situe son estimation, et elle en dérive deux nombres: une valeur attendue et une mesure de sa dispersion. Elle rend ainsi visible ce qu'un chiffre unique cache: donner un seul chiffre porte un mensonge par omission, car il ne dit rien de sa propre fiabilité, et deux tâches annoncées à six jours peuvent recouvrir des réalités opposées, l'une quasi certaine, l'autre susceptible de doubler.

La décision qu'elle soutient est un engagement pris sous incertitude. Fixer une date de livraison, réserver un budget, comparer deux options dont l'une est plus risquée que l'autre à espérance égale, tout cela suppose de connaître le coût moyen d'une chose et la marge qui l'entoure. PERT fournit cette marge sous une forme chiffrée et combinable. La valeur attendue de plusieurs tâches s'additionne en une estimation de projet, et leurs dispersions se composent en un intervalle de confiance global. Un responsable peut alors énoncer «le projet dure dix-neuf jours, et il y a environ neuf chances sur dix qu'il tienne entre quinze et vingt-trois jours», affirmation d'une tout autre valeur que le seul «dix-neuf jours» pour qui doit s'engager sur elle.

Le livrable est un tableau: une ligne par composant, les trois valeurs élicitées, la valeur attendue et l'écart-type qui en découlent, puis une ligne de synthèse portant l'estimation du projet et son intervalle de confiance. PERT est l'une des méthodes de la famille de l'estimation, celle qui remplit ce tableau au niveau des éléments les plus fins d'une décomposition; le total qu'elle produit se lit ensuite comme une fourchette assortie d'une probabilité, là où une estimation à point unique ne laisse le choix qu'entre la prudence excessive et l'optimisme aveugle.

Usage

Quand l'utiliser

• Incertitude à quantifier: la décision a besoin d'une marge chiffrée autour du chiffre.
• Intervalle de confiance à l'échelle du projet: plusieurs composants à additionner en une fourchette globale probabilisée, ce que seule une dispersion combinable permet.
• Deux options à espérance comparable, à risque différent: PERT expose laquelle est la plus serrée, distinction qu'un chiffre unique efface.
• Décomposition déjà disponible: les éléments à estimer existent au niveau fin, PERT les estime à trois points puis les somme.
• Experts capables de nommer trois valeurs crédibles: un optimiste, un probable et un pessimiste fondés sur l'expérience ou un analogue.

Quand ne pas l'utiliser

• Trop peu d'information pour trois valeurs crédibles: au cadrage stratégique précoce, préférer l'ordre de grandeur (ROM), un chiffre unique à fourchette large assumée, puis revenir à PERT une fois le terrain connu.
• Unités répétitives avec modèle calibré: quand un historique nourrit un modèle de coût ou d'effort par unité, l'estimation paramétrique est plus rapide et souvent plus serrée qu'éliciter trois points à chaque fois.
• Aucune base quantitative partagée: désaccord d'experts qu'aucune formule ne tranche, chercher d'abord le consensus par la méthode Delphi, dont les valeurs convergées peuvent ensuite alimenter un calcul PERT.

Description

Les trois valeurs

La technique commence par éliciter, pour chaque composant à estimer, trois durées ou trois coûts auprès de la personne qui fera le travail. La valeur optimiste (O) est celle atteinte si tout se déroule sans accroc, sans être pour autant un miracle. La valeur la plus probable (M, pour most likely) est celle que l'estimateur retiendrait s'il ne devait en donner qu'une, le mode de sa croyance. La valeur pessimiste (P) est celle atteinte si les difficultés raisonnablement prévisibles surviennent. Le soin porté à P décide de la qualité de tout le reste, car c'est lui qui porte l'essentiel de la dispersion. Un P posé comme «un mauvais jour» plutôt que comme un vrai scénario défavorable comprime artificiellement l'incertitude et donne un intervalle de confiance faussement rassurant.

La pondération de la valeur attendue

PERT résume les trois valeurs en une valeur attendue, notée tE, par une moyenne pondérée:

tE = (O + 4M + P) / 6

Le scénario le plus probable pèse quatre fois plus que chaque extrême. Cette pondération approche la moyenne d'une distribution bêta ajustée pour que ses bornes soient O et P et son mode M. La bêta a la propriété qui compte pour l'estimation: elle peut être asymétrique. Quand la traîne pessimiste est longue, par exemple un optimiste à trois jours, un mode à cinq, un pessimiste à treize, sa moyenne se déplace au-delà du mode, tirée vers le côté défavorable. La valeur attendue vaut alors six alors que le scénario le plus probable était cinq, et cet écart d'un jour est le risque que la traîne fait peser sur le composant. Une estimation à point unique posée sur le mode l'aurait ignoré.

Cette formule se confond couramment avec une autre. La confusion est une erreur de fond. La moyenne triangulaire, (O + M + P) / 3, donne un poids égal aux trois valeurs. Elle décrit une distribution triangulaire, non une bêta, et convient quand l'historique est trop maigre pour justifier la pondération bêta ou quand le mode n'est pas plus probable que la moyenne des trois. Le PMBOK Guide, 8^e édition, écrit cette formule-là sous le nom d'estimation multipoint; la pondération bêta reste celle de l'article de 1959. Les deux formules cohabitent dans la pratique comme dans les manuels et sont souvent citées l'une pour l'autre. PERT est la version pondérée à quatre, (O + 4M + P) / 6; nommer l'autre «PERT» est un contresens qui change silencieusement chaque estimation.

La dispersion: écart-type et variance

Le même triplet fournit une mesure de l'incertitude. L'écart-type du composant est l'étendue divisée par six:

σ = (P − O) / 6    et donc    σ² = ((P − O) / 6)²

La division par six a la même origine que la pondération: l'étendue P − O tient lieu des six écarts-types qui, dans la distribution supposée, séparent la borne basse de la borne haute, puisque l'essentiel d'une distribution s'étale sur environ trois écarts-types de part et d'autre du centre. Un composant à faible étendue est donc serré, un composant à large étendue est incertain, et deux composants de même valeur attendue peuvent avoir des écarts-types sans commune mesure. C'est la lecture que PERT rend possible et que le chiffre unique interdit.

La consolidation au niveau du projet

Les valeurs attendues s'additionnent simplement: l'estimation du projet est la somme des tE de ses composants. Les dispersions, elles, ne s'additionnent pas de la même façon. Ce sont les variances qui se somment, et l'écart-type du projet est la racine de cette somme:

σ_projet = √(Σ σ²)

Additionner directement les écarts-types est l'erreur mécanique la plus fréquente et elle surestime la dispersion. La racine de la somme des variances est la bonne opération, et elle repose sur une hypothèse d'indépendance. La formule n'est valide que si les incertitudes des composants sont décorrélées, c'est-à-dire si aucun facteur de risque commun ne les relie. Or, si trois composants dépendent du même fournisseur, de la même ressource critique ou de la même contrainte réglementaire, un retard sur l'un accompagne un retard sur les autres, et la racine de la somme des variances sous-estime le risque réel du projet parce qu'elle traite comme indépendantes des incertitudes qui bougent ensemble. L'hypothèse doit être énoncée à côté du résultat. Là où elle ne tient pas, la parade est de le signaler qualitativement ou de recourir à une simulation qui modélise la corrélation.

Sous l'hypothèse d'indépendance, la somme d'un nombre suffisant de composants tend vers une distribution normale même si chacun suit une bêta, ce qui autorise à lire l'intervalle de confiance sur la loi normale. Une valeur attendue de projet plus ou moins 1,645 fois son écart-type couvre environ 90 % des issues; plus ou moins 1,96 fois, environ 95 %. Cette bande est le livrable de PERT. Un dernier piège se loge dans sa présentation: un tE affiché avec deux décimales sur des entrées qui sont des jugements d'experts affiche une précision que les données ne portent pas. Le tableau garde les décimales pour que le calcul se recontrôle au chiffre près; l'estimation que l'on engage, elle, se dit en fourchette arrondie, quinze à vingt-trois jours. La fourchette dit la vérité que la décimale déguise.

Considérations IA

Le calcul ne réclame aucune intelligence artificielle: la moyenne pondérée, la variance et la racine de leur somme tiennent en quelques cellules de tableur. L'apport utile d'un modèle est en amont des trois valeurs et en aval du total.

En amont, un modèle de langage aide à fonder les trois points. Interrogé sur l'historique des tâches comparables, les tickets clos d'un projet antérieur, les durées réellement constatées sur un travail analogue, il propose un optimiste, un probable et un pessimiste étayés qu'un expert corrige, ce qui vaut mieux qu'un triplet posé de mémoire. Il sait aussi produire d'un même jeu de composants les trois lectures que réclame une décision, la valeur attendue, l'écart-type et l'intervalle de confiance. C'est en aval qu'il rend le plus, sur l'hypothèse d'indépendance: une simulation de Monte-Carlo, qu'un assistant met en place rapidement, rejoue le projet des milliers de fois en laissant les composants corrélés varier ensemble et donne l'intervalle réel là où la racine de la somme des variances ne donne qu'une approximation valable sous indépendance.

Ce que la machine ne peut pas fournir tient aux entrées et aux hypothèses. Les trois valeurs sont un jugement d'expert sur ce travail précis, avec ses aléas propres, et un modèle interrogé sans ce contexte produit des chiffres plausibles et sans fondement. La valeur pessimiste, surtout, exige de savoir ce qui peut mal tourner sur cette tâche, connaissance de terrain qu'aucun modèle général ne détient. Et le constat d'indépendance ou de corrélation est une lecture métier: c'est l'analyste qui sait que trois composants passent par le même intégrateur, information qui ne se déduit d'aucun tableau de nombres et qui décide pourtant si l'écart-type consolidé est honnête.

Exemples

Une PME de Suisse romande estime l'effort d'une refonte de son système de paie, qui doit calculer correctement les cotisations AVS et LPP avant sa mise en service. Le travail est décomposé en quatre lots, chacun estimé à trois points en jours-personne.

La migration des données et l'interface AVS/LPP ont la même valeur attendue, six jours, et un chiffre unique les afficherait identiques. Leurs variances les séparent pourtant: 2,778 contre 0,444, un écart-type de 1,67 jour contre 0,67. La migration est le vrai risque de calendrier, l'interface est presque acquise, et seule l'estimation à trois points fait apparaître cette différence là où un six unique la cacherait. Au niveau du projet, les valeurs attendues se somment à dix-neuf jours; les variances se somment à 6,111, dont la racine donne un écart-type de projet de 2,47 jours, sous réserve que les quatre lots soient estimés de façon indépendante, hypothèse à vérifier dans ce cas puisqu'un même intégrateur pourrait relier plusieurs lots. L'intervalle de confiance à environ 90 % vaut 19 ± 1,645 × 2,47, soit une fourchette d'environ quinze à vingt-trois jours-personne. Rapportée à un tarif de consultant de CHF 1'350 par jour, l'espérance ressort à environ CHF 25'650 et la fourchette à environ CHF 20'250 à CHF 31'050.

Visualisations

La technique produit deux objets, et chacun appelle son médium. Le premier est le tableau d'estimation: fait de lignes et de colonnes, il est le livrable même, et ses colonnes sont ce qu'un relecteur recalcule pour vérifier l'estimation. Il reste en HTML, sélectionnable et recalculable, plutôt que figé en image.

Le second est la logique de la formule, qui se voit mieux tracée que tabulée. La courbe de distribution bêta d'un des lots, la migration des données, porte ses trois valeurs sur l'axe, le mode au sommet et la valeur attendue marquée à droite de ce sommet, tirée par la longue traîne pessimiste. Elle montre d'un regard pourquoi la valeur attendue dépasse le scénario le plus probable et pourquoi l'étendue mesure la dispersion. La courbe donne à voir la mécanique de la pondération, le tableau porte le calcul reproductible.

Coût

Outils

Le tableur est le choix honnête et difficile à battre. Les trois formules se posent en quelques cellules, le total et l'intervalle se recalculent à chaque changement d'une valeur, et l'analyse de sensibilité, rejouer l'estimation sous des triplets révisés, se fait dans le même classeur. Pour un projet de quelques dizaines de composants, rien de plus n'est nécessaire.

Les outils de planification de projet intègrent souvent l'estimation à trois points nativement: on saisit O, M et P sur chaque tâche et l'outil calcule la valeur attendue et propage les durées dans le calendrier, ce qui évite de tenir un tableur en parallèle du plan. Là où l'hypothèse d'indépendance ne tient pas, les modules ou greffons de simulation de Monte-Carlo prennent le relais: ils tirent des milliers de scénarios en laissant les composants corrélés varier ensemble et rendent l'intervalle de confiance réel, que la racine de la somme des variances ne peut donner que sous indépendance. Ce surcroît d'outillage ne se justifie que lorsque les corrélations sont réelles et l'enjeu du chiffrage élevé; en deçà, il ajoute une licence sans rien apporter que le tableur ne fasse déjà.

Sources

• IIBA, A Guide to the Business Analysis Body of Knowledge (BABOK Guide) v3, §10.19 Estimation: le rangement de PERT parmi les méthodes d'estimation, la moyenne pondérée qui accorde quatre fois plus de poids au scénario le plus probable et le rattachement de l'estimation à l'intervalle de confiance, à la variance et à l'écart-type comme mesures de précision. Le BABOK décrit ces méthodes et ne prescrit pas de formule de variance, laquelle vient de l'article fondateur de 1959.
• D. G. Malcolm, J. H. Roseboom, C. E. Clark et W. Fazar, «Application of a Technique for Research and Development Program Evaluation», Operations Research, 7(5), 1959, p. 646-669: l'article fondateur de PERT, développé au Special Projects Office de l'US Navy pour le programme Polaris, qui pose l'approximation par une distribution bêta et la dérivation de la valeur attendue et de la variance à partir des trois estimations.
• PMI, A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK Guide), 8^e édition, estimation multipoint (Multipoint estimating): le nom que le PMBOK donne à la technique et sa définition, une moyenne ou une moyenne pondérée des valeurs optimiste, la plus probable et pessimiste lorsque l'estimation d'une activité est incertaine, ainsi que son usage dans l'estimation de durées et de coûts. La seule formule qu'il écrit est la moyenne triangulaire tE = (tO + tM + tP) / 3, donnée comme «une formule couramment utilisée»; la pondération à quatre et l'écart-type (P − O) / 6 viennent de l'article de 1959.