Histogramme

Objectif

L'histogramme est un diagramme en barres qui montre la forme de la variation d'une mesure, ce qu'une moyenne cache. Le manuel de statistique du NIST lui fait répondre à cinq questions. De quelle distribution viennent les données? Où se trouve leur centre? Quelle est leur dispersion? Sont-elles symétriques ou asymétriques? Contiennent-elles des valeurs isolées? Une moyenne répond à la deuxième question seulement, et un tableau de chiffres ne répond à aucune d'un regard. L'histogramme compte parmi les graphiques de l'analyse exploratoire des données.

Le livrable est le graphique, avec ses données et une lecture écrite: la forme observée, la position par rapport aux limites du client et la décision qui en découle. Cette décision peut être de recentrer un réglage, de séparer deux populations mélangées, de vérifier une valeur isolée ou de passer au calcul de la capabilité.

Kaoru Ishikawa a réuni sept outils de base de la qualité pour les cercles de qualité japonais: la feuille de relevé, le diagramme de Pareto, le diagramme d'Ishikawa, l'histogramme, la carte de contrôle, le diagramme de dispersion et la stratification. Son Guide to Quality Control les enseigne aux personnes qui font le travail.

Usage

Quand l'utiliser

• Mesure soumise à une tolérance: voir si les pièces, les poids ou les délais tiennent entre les limites du client et avec quelle marge.
• Moyenne qui rassure: un délai moyen de 5 jours peut cacher une queue de dossiers à 30 jours.
• Deux populations soupçonnées: deux sommets désignent deux machines, deux équipes ou deux types de demande à séparer.
• Avant un calcul de capabilité ou un test statistique: vérifier la forme que le calcul suppose, le plus souvent la cloche.
• Avant et après une amélioration: deux histogrammes sur la même échelle montrent si le centre a bougé et si la dispersion a baissé.
• Phase Measure d'un DMAIC: décrire la variation de départ que le projet doit réduire.

Quand ne pas l'utiliser

• Question sur l'évolution dans le temps: l'histogramme perd l'ordre des mesures, prendre la carte de contrôle.
• Données par catégories: motifs de réclamation ou types de panne se comptent et se trient dans un diagramme de Pareto.
• Quelques dizaines de valeurs: la forme dépend du découpage des classes, placer plutôt chaque valeur sur l'axe dans un diagramme en points.

Description

Les éléments

La mesure est une variable continue, relevée sur chaque unité: le diamètre de chaque pièce, le délai de chaque dossier. L'axe horizontal la porte. Une classe est un intervalle de cette mesure. Toutes les classes ont la même largeur et couvrent l'étendue des données sans chevauchement. Elles se suivent sans trou, si bien que les barres se touchent. L'effectif d'une classe est le nombre de valeurs qu'elle contient. Il donne la hauteur de la barre, sur l'axe vertical.

Les limites de spécification, inférieure et supérieure, notées LSL et USL (lower et upper specification limit), bornent la tolérance que fixe le client, le plan ou le contrat. L'analyste les trace en lignes verticales, avec la cible, le plus souvent au milieu.

Les limites de spécification viennent de l'extérieur du processus. Les limites de contrôle d'une carte de contrôle se calculent sur les données du processus lui-même. Qui les confond fait passer pour conforme un processus stable qui produit hors tolérance.

Construire l'histogramme

1. Fixer la population. L'analyste décide quelle mesure, sur quelles unités, sur quelle période et avec quel instrument. Une machine, une équipe ou un type de demande forme une population. Plusieurs populations mélangées produisent une forme qu'aucune d'elles n'a.
2. Relever les valeurs. L'analyste vise une centaine de valeurs. Avec quelques dizaines, déplacer les classes suffit à changer la forme. Il note aussi l'ordre et la date de chaque mesure, pour tracer la carte de contrôle et retrouver une valeur isolée.
3. Découper l'étendue en classes. L'étendue va de la plus petite à la plus grande valeur. Aucune règle unique ne fixe le nombre de classes. Les logiciels proposent une largeur, que l'analyste arrondit à une valeur lisible: 5 µm, 1 jour ou CHF 100. Il décide aussi où va une valeur qui tombe sur une borne, par exemple dans la classe qui commence à cette borne, et applique la même règle partout.
4. Compter. Le total du tableau des effectifs égale le nombre de mesures. Un écart signale une valeur oubliée ou comptée deux fois.
5. Tracer. Une barre par classe, sans espace entre les barres, l'axe vertical partant de zéro. L'analyste ajoute les limites de spécification et la cible, puis indique sous le graphique le nombre de valeurs, la période et la source.
6. Lire et décider. L'analyste nomme la forme, situe le centre et l'étendue par rapport aux limites et écrit la décision sous le graphique.

Choisir la largeur des classes

La largeur des classes décide de ce que le graphique montre. Avec trois ou quatre barres, l'asymétrie et les deux sommets d'un mélange disparaissent. Avec des classes trop étroites, les barres alternent entre hautes et basses au gré du hasard, et le lecteur voit des creux que le processus ne produit pas. L'analyste trace donc deux ou trois largeurs sur les mêmes données. Une forme qui tient d'une largeur à l'autre appartient au processus. Une forme qui disparaît appartient au découpage.

La résolution de l'instrument fixe une largeur minimale. Un comparateur qui lit au micromètre laisse vide une classe de 0,5 µm sur deux. La largeur retenue est un multiple entier de la résolution. Sinon, des classes voisines couvrent un nombre inégal de lectures possibles: les barres alternent sans cause dans le processus.

Lire la forme

Le NIST décrit les formes types qui suivent. Les causes données pour chacune sont des pistes courantes de la pratique qualité: la stratification ou la carte de contrôle les confirment ou les écartent.

• En cloche, symétrique autour d'un sommet: la variation vient de nombreuses petites causes. La moyenne et l'écart-type la résument.
• Asymétrique à droite, avec une longue queue vers les grandes valeurs: fréquente pour les délais, les durées et les montants, que zéro borne à gauche. La médiane décrit le cas courant mieux que la moyenne, que la queue tire vers le haut. Vous trouverez ce choix entre moyenne et médiane dans notre fiche sur les statistiques descriptives et inférentielles.
• Asymétrique à gauche: les valeurs butent sur un plafond, un rendement proche de 100% ou une note maximale. L'analyste cherche ce plafond.
• Bimodale, à deux sommets: le NIST en donne deux lectures. La première est le mélange de deux distributions centrées à des endroits différents, dont deux machines, deux équipes ou deux fournisseurs sont les causes courantes. La stratification sépare alors les données par source, et chaque source reçoit son histogramme. La seconde est une oscillation du processus dans le temps, que la carte de contrôle montre.
• En plateau, aux queues courtes: les barres ont des hauteurs voisines sur presque toute l'étendue. Plusieurs populations proches se superposent, ou le réglage a dérivé pendant la période. La carte de contrôle tranche entre les deux.
• Valeur isolée, une barre séparée du reste par des classes vides: une erreur de saisie, une erreur de mesure ou un événement réel. L'analyste retrouve la valeur à sa source avant de l'écarter ou de l'expliquer.

Situer la forme face aux limites

La forme nommée, l'analyste compare l'étendue des barres à l'intervalle entre les limites. Le NIST en fait l'évaluation graphique de la capabilité. Si toute la distribution tient entre les deux limites, le processus tient la tolérance au moment du relevé.

Un décentrage se corrige par un réglage. Une distribution plus large que l'intervalle produit des rebuts, et aucun réglage ne les supprime: l'équipe réduit alors la variation ou renégocie la tolérance. Quand les deux défauts se cumulent, le recentrage passe en premier, parce qu'il coûte le moins.

La capabilité du processus traduit cette lecture en indices, Cp et Cpk. Le NIST rappelle que ces indices supposent des données distribuées selon une loi normale, issues d'un processus stable. Il demande aussi environ 50 valeurs indépendantes pour les calculer. L'histogramme vérifie d'abord la forme: un histogramme bimodal ou très asymétrique fausse la valeur des indices.

Ce que l'histogramme ne montre pas

L'histogramme perd l'ordre des mesures. Un processus qui dérive pendant le relevé produit une cloche large, que rien ne distingue d'un processus stable et dispersé. La forme ne prédit la production de demain que si le processus est stable. La carte de contrôle vérifie cette stabilité. L'analyste trace les deux sur les mêmes données.

Deux histogrammes se comparent sur la même échelle et avec les mêmes classes. Si les deux relevés n'ont pas le même nombre de valeurs, l'axe vertical porte des pourcentages. Deux graphiques aux axes réglés par le logiciel font croire à un changement de forme qui ne tient qu'au découpage.

L'histogramme et ses voisins

Considérations IA

Un assistant écrit le code qui trace l'histogramme, en Python ou en R, avec les limites de spécification et plusieurs largeurs de classes côte à côte. L'analyste vérifie que le code lit la bonne colonne, dans la bonne unité et sur la bonne période et que les limites tracées sont celles du plan ou du contrat.

Un modèle de langage à qui l'on colle des valeurs dans la conversation peut rendre des effectifs faux sans le signaler. L'analyste compte dans le tableur ou dans le code. Le total des effectifs, égal au nombre de mesures, sert de contrôle.

Le modèle nomme une forme et propose des causes: deux sommets, donc deux machines. Il ignore que l'atelier compte deux machines ou qu'un fournisseur a changé pendant la période. Ses causes restent des hypothèses, que la stratification confirme ou écarte.

Des délais de traitement ou des montants rattachés à des personnes sont des données personnelles au sens de la LPD. Avant de les confier à un service d'IA externe, l'analyste retire les identifiants: l'histogramme n'a besoin que de la mesure.

Exemples

Un histogramme situe la production par rapport à la tolérance. Un décolleteur de l'Arc jurassien usine des axes de 4,00 mm de diamètre, tolérance ±0,03 mm. Le contrôle mesure 100 axes d'une même machine pendant une équipe, au comparateur, avec une lecture de 0,5 µm. Le tableau et le graphique portent l'écart à la cote nominale, en micromètres.

Tous les axes tiennent la tolérance. La moyenne, calculée sur les centres de classe, vaut 8,1 µm, pour une cible à 0. La queue droite arrive à moins de 5 µm de la limite supérieure, alors que 15 µm au moins séparent la classe la plus basse de la limite inférieure. Abaisser le réglage d'environ 8 µm donne de la marge des deux côtés sans toucher à la dispersion.

Visualisations

L'histogramme de l'exemple, le catalogue des formes, la comparaison des largeurs de classes et les quatre positions face aux limites sont des dessins: la forme des barres et leur place sur l'échelle portent l'information. Le tableau des effectifs, la comparaison avec les outils voisins et le coût sont faits de lignes et de colonnes, donc de tableaux.

Coût

Outils

Sur le terrain, une feuille de relevé suffit. L'opérateur coche chaque mesure dans sa classe, et les colonnes de croix forment l'histogramme au fil du relevé.

Un tableur trace l'histogramme à partir d'une colonne de valeurs. Le type de graphique Histogramme d'Excel calcule les classes, dont l'analyste règle la largeur, et convient pour un premier regard. Il ne se combine avec aucun autre type de graphique et ne trace donc pas les limites. Pour les ajouter, l'analyste calcule les effectifs avec NB.SI.ENS ou FREQUENCE, trace des colonnes sans intervalle et ajoute chaque limite en série de type nuage de points.

Minitab et JMP tracent l'histogramme avec les limites et calculent la capabilité dans la même analyse. R et Python, avec ggplot2 ou matplotlib, font le même travail en code, que l'équipe relit et relance sur les données du mois suivant.

Sources

• Ishikawa, Kaoru, Guide to Quality Control, Asian Productivity Organization, édition japonaise originale 1968: l'histogramme parmi les sept outils de base de la qualité, sa construction et sa lecture.
• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.3.14 «Histogram»: la définition, les cinq questions auxquelles l'histogramme répond et les formes types, décrites chacune sur sa page.
• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, §3.4.6 «Assessing Process Capability»: la lecture de l'histogramme face aux limites de spécification et son passage aux indices Cp et Cpk.
• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, §6.1.6 «What is Process Capability?»: les conditions des indices Cp et Cpk, soit une loi normale, un processus stable et environ 50 valeurs indépendantes.