PERT

Zweck

Die Drei-Punkt-Schätzung verlangt von demjenigen, der die Arbeit kennt, die drei Grenzen, zwischen denen er seine Schätzung ansiedelt, und leitet daraus zwei Zahlen ab: einen Erwartungswert und ein Mass für seine Streuung. So macht sie sichtbar, was eine einzelne Zahl verbirgt: Eine einzige Zahl zu nennen trägt eine Lüge durch Auslassung, denn sie sagt nichts über ihre eigene Verlässlichkeit, und zwei Aufgaben, beide mit sechs Tagen angegeben, können gegensätzliche Wirklichkeiten verdecken, die eine nahezu sicher, die andere geeignet, sich zu verdoppeln.

Die Entscheidung, die sie stützt, ist eine unter Unsicherheit eingegangene Verpflichtung. Einen Liefertermin festlegen, ein Budget reservieren, zwei Optionen vergleichen, von denen die eine bei gleichem Erwartungswert riskanter ist als die andere, all das setzt voraus, die durchschnittlichen Kosten einer Sache und die Marge zu kennen, die sie umgibt. PERT liefert diese Marge in bezifferter und kombinierbarer Form. Die Erwartungswerte mehrerer Aufgaben summieren sich zu einer Projektschätzung, und ihre Streuungen setzen sich zu einem globalen Konfidenzintervall zusammen. Eine verantwortliche Person kann dann sagen: «Das Projekt dauert neunzehn Tage, und es besteht etwa eine Chance von neun zu zehn, dass es zwischen fünfzehn und dreiundzwanzig Tagen bleibt», eine Aussage von ganz anderem Wert als das blosse «neunzehn Tage» für jemanden, der sich darauf verpflichten muss.

Der Liefergegenstand ist eine Tabelle: eine Zeile je Bestandteil, die drei erhobenen Werte, der Erwartungswert und die Standardabweichung, die sich daraus ergeben, dann eine Zusammenfassungszeile mit der Projektschätzung und ihrem Konfidenzintervall. PERT ist eine der Methoden der Familie der Schätzung, diejenige, die diese Tabelle auf der Ebene der feinsten Elemente einer Zerlegung ausfüllt; die Summe, die sie erzeugt, liest sich dann als Spanne mit einer zugeordneten Wahrscheinlichkeit, wo eine Einzelpunkt-Schätzung nur die Wahl zwischen übertriebener Vorsicht und blindem Optimismus lässt.

Einsatz

Wann einsetzen

• Unsicherheit, die zu beziffern ist: die Entscheidung braucht eine bezifferte Marge um die Zahl.
• Konfidenzintervall auf Projektebene: mehrere Bestandteile, die zu einer globalen, mit Wahrscheinlichkeit versehenen Spanne zu addieren sind, was nur eine kombinierbare Streuung erlaubt.
• Zwei Optionen mit vergleichbarem Erwartungswert, unterschiedlichem Risiko: PERT zeigt auf, welche die engere ist, eine Unterscheidung, die eine einzelne Zahl auslöscht.
• Bereits vorhandene Zerlegung: die zu schätzenden Elemente bestehen auf feiner Ebene, PERT schätzt sie an drei Punkten und summiert sie dann.
• Fachleute, die drei glaubwürdige Werte benennen können: ein optimistischer, ein wahrscheinlicher und ein pessimistischer Wert, gestützt auf Erfahrung oder eine Analogie.

Wann nicht einsetzen

• Zu wenig Information für drei glaubwürdige Werte: bei früher strategischer Rahmung eher die Grössenordnung (ROM), eine einzelne Zahl mit offen breiter Spanne, dann zu PERT zurückkehren, sobald das Terrain bekannt ist.
• Wiederkehrende Einheiten mit kalibriertem Modell: wenn eine Historie ein Kosten- oder Aufwandmodell je Einheit speist, ist die parametrische Schätzung schneller und oft enger, als jedes Mal drei Punkte zu erheben.
• Keine gemeinsame quantitative Grundlage: Uneinigkeit der Fachleute, die keine Formel entscheidet, zuerst den Konsens über die Delphi-Methode suchen, deren konvergierte Werte anschliessend eine PERT-Berechnung speisen können.

Beschreibung

Die drei Werte

Die Technik beginnt damit, für jeden zu schätzenden Bestandteil drei Dauern oder drei Kosten bei der Person zu erheben, die die Arbeit ausführen wird. Der optimistische Wert (O) ist derjenige, der erreicht wird, wenn alles reibungslos verläuft, ohne deswegen ein Wunder zu sein. Der wahrscheinlichste Wert (M, für most likely) ist derjenige, den der Schätzende behalten würde, wenn er nur einen nennen dürfte, der Modus seiner Überzeugung. Der pessimistische Wert (P) ist derjenige, der erreicht wird, wenn die vernünftigerweise absehbaren Schwierigkeiten eintreten. Die Sorgfalt bei P entscheidet über die Qualität alles Übrigen, denn er trägt den grössten Teil der Streuung. Ein P, das als «ein schlechter Tag» statt als echtes ungünstiges Szenario angesetzt wird, presst die Unsicherheit künstlich zusammen und ergibt ein trügerisch beruhigendes Konfidenzintervall.

Die Gewichtung des Erwartungswerts

PERT fasst die drei Werte zu einem Erwartungswert zusammen, mit tE bezeichnet, über einen gewichteten Mittelwert:

tE = (O + 4M + P) / 6

Das wahrscheinlichste Szenario wiegt viermal so schwer wie jedes Extrem. Diese Gewichtung nähert sich dem Mittelwert einer Beta-Verteilung an, so eingestellt, dass ihre Grenzen O und P und ihr Modus M sind. Die Beta-Verteilung hat die für die Schätzung entscheidende Eigenschaft: sie kann asymmetrisch sein. Wenn die pessimistische Flanke lang ist, etwa ein optimistischer Wert bei drei Tagen, ein Modus bei fünf, ein pessimistischer Wert bei dreizehn, verschiebt sich ihr Mittelwert über den Modus hinaus, zur ungünstigen Seite gezogen. Der Erwartungswert beträgt dann sechs, wo das wahrscheinlichste Szenario fünf war, und dieser Abstand von einem Tag ist das Risiko, das die Flanke dem Bestandteil auferlegt. Eine auf den Modus gesetzte Einzelpunkt-Schätzung hätte es ignoriert.

Diese Formel wird häufig mit einer anderen verwechselt. Die Verwechslung ist ein grundlegender Fehler. Der Dreiecksmittelwert, (O + M + P) / 3, gibt den drei Werten gleiches Gewicht. Er beschreibt eine Dreiecksverteilung, keine Beta-Verteilung, und eignet sich, wenn die Historie zu dünn ist, um die Beta-Gewichtung zu rechtfertigen, oder wenn der Modus nicht wahrscheinlicher ist als der Durchschnitt der drei. Der PMBOK Guide, 8. Auflage, schreibt diese Formel unter dem Namen Mehrpunktschätzung; die Beta-Gewichtung bleibt die der Arbeit von 1959. Die beiden Formeln bestehen in der Praxis und in den Lehrbüchern nebeneinander und werden oft füreinander zitiert. PERT ist die mit vier gewichtete Fassung, (O + 4M + P) / 6; die andere «PERT» zu nennen, ist ein Missverständnis, das jede Schätzung stillschweigend verändert.

Die Streuung: Standardabweichung und Varianz

Dasselbe Tripel liefert ein Mass für die Unsicherheit. Die Standardabweichung des Bestandteils ist die Spannweite geteilt durch sechs:

σ = (P − O) / 6    und somit    σ² = ((P − O) / 6)²

Die Division durch sechs hat denselben Ursprung wie die Gewichtung: die Spannweite P − O steht für die sechs Standardabweichungen, die in der angenommenen Verteilung die untere von der oberen Grenze trennen, da sich der wesentliche Teil einer Verteilung über etwa drei Standardabweichungen beidseits der Mitte erstreckt. Ein Bestandteil mit geringer Spannweite ist also eng, ein Bestandteil mit weiter Spannweite ist unsicher, und zwei Bestandteile mit demselben Erwartungswert können Standardabweichungen ohne jedes gemeinsame Mass haben. Das ist die Lesart, die PERT ermöglicht und die die einzelne Zahl verwehrt.

Die Konsolidierung auf Projektebene

Die Erwartungswerte addieren sich einfach: die Projektschätzung ist die Summe der tE ihrer Bestandteile. Die Streuungen hingegen addieren sich nicht auf dieselbe Weise. Es sind die Varianzen, die sich summieren, und die Standardabweichung des Projekts ist die Wurzel dieser Summe:

σ_Projekt = √(Σ σ²)

Die Standardabweichungen direkt zu addieren ist der häufigste mechanische Fehler und überschätzt die Streuung. Die Wurzel der Summe der Varianzen ist die richtige Operation, und sie beruht auf einer Unabhängigkeitsannahme. Die Formel ist nur gültig, wenn die Unsicherheiten der Bestandteile unkorreliert sind, das heisst, wenn kein gemeinsamer Risikofaktor sie verbindet. Hängen jedoch drei Bestandteile vom selben Lieferanten, von derselben kritischen Ressource oder von derselben regulatorischen Vorgabe ab, so geht eine Verzögerung bei einem mit einer Verzögerung bei den anderen einher, und die Wurzel der Summe der Varianzen unterschätzt das reale Risiko des Projekts, weil sie Unsicherheiten, die sich gemeinsam bewegen, als unabhängig behandelt. Die Annahme muss neben dem Ergebnis genannt werden. Wo sie nicht gilt, besteht die Abhilfe darin, sie qualitativ zu kennzeichnen oder auf eine Simulation zurückzugreifen, welche die Korrelation modelliert.

Unter der Unabhängigkeitsannahme strebt die Summe einer hinreichenden Anzahl von Bestandteilen einer Normalverteilung zu, auch wenn jeder einer Beta-Verteilung folgt, was erlaubt, das Konfidenzintervall auf der Normalverteilung abzulesen. Ein Projekt-Erwartungswert plus oder minus dem 1,645-Fachen seiner Standardabweichung deckt etwa 90 % der Ausgänge ab; plus oder minus dem 1,96-Fachen etwa 95 %. Dieses Band ist der Liefergegenstand von PERT. Eine letzte Falle steckt in seiner Darstellung: ein tE, das mit zwei Dezimalstellen auf Eingaben angezeigt wird, die Expertenurteile sind, gibt eine Genauigkeit vor, die die Daten nicht tragen. Die Tabelle behält die Dezimalstellen, damit die Berechnung auf die Ziffer genau nachkontrolliert werden kann; die Schätzung, auf die man sich verpflichtet, wird hingegen als gerundete Spanne genannt, fünfzehn bis dreiundzwanzig Tage. Die Spanne sagt die Wahrheit, die die Dezimalstelle verkleidet.

KI-Überlegungen

Die Berechnung verlangt keinerlei künstliche Intelligenz: der gewichtete Mittelwert, die Varianz und die Wurzel ihrer Summe fassen in wenige Tabellenzellen. Der nützliche Beitrag eines Modells liegt vor den drei Werten und nach der Summe.

Vorgelagert hilft ein Sprachmodell, die drei Punkte zu fundieren. Befragt zur Historie vergleichbarer Aufgaben, zu den geschlossenen Tickets eines früheren Projekts, zu den tatsächlich beobachteten Dauern einer analogen Arbeit, schlägt es einen optimistischen, einen wahrscheinlichen und einen pessimistischen Wert mit Beleg vor, den eine Fachperson korrigiert, was mehr wert ist als ein aus dem Gedächtnis gesetztes Tripel. Es kann auch aus einem einzigen Satz von Bestandteilen die drei Lesarten erzeugen, die eine Entscheidung verlangt, den Erwartungswert, die Standardabweichung und das Konfidenzintervall. Nachgelagert gibt es am meisten her, bei der Unabhängigkeitsannahme: eine Monte-Carlo-Simulation, die ein Assistent rasch aufsetzt, spielt das Projekt tausendfach durch und lässt die korrelierten Bestandteile gemeinsam variieren und liefert das reale Intervall dort, wo die Wurzel der Summe der Varianzen nur eine unter Unabhängigkeit gültige Näherung gibt.

Was die Maschine nicht liefern kann, liegt in den Eingaben und den Annahmen. Die drei Werte sind ein Expertenurteil über genau diese Arbeit, mit ihren eigenen Unwägbarkeiten, und ein ohne diesen Kontext befragtes Modell erzeugt plausible und grundlose Zahlen. Vor allem der pessimistische Wert verlangt zu wissen, was bei dieser Aufgabe schiefgehen kann, ein Feldwissen, das kein allgemeines Modell besitzt. Und die Feststellung von Unabhängigkeit oder Korrelation ist eine fachliche Lesart: es ist die Analystin, die weiss, dass drei Bestandteile durch denselben Integrator laufen, eine Information, die sich aus keiner Zahlentabelle ableiten lässt und die dennoch entscheidet, ob die konsolidierte Standardabweichung ehrlich ist.

Beispiele

Ein KMU der Westschweiz schätzt den Aufwand für die Neugestaltung seines Lohnsystems, das die AHV- und BVG-Beiträge vor der Inbetriebnahme korrekt berechnen muss. Die Arbeit wird in vier Pakete zerlegt, jedes an drei Punkten in Personentagen geschätzt.

Die Datenmigration und die AHV/BVG-Schnittstelle haben denselben Erwartungswert, sechs Tage, und eine einzelne Zahl würde sie identisch anzeigen. Ihre Varianzen trennen sie dennoch: 2,778 gegenüber 0,444, eine Standardabweichung von 1,67 Tagen gegenüber 0,67. Die Migration ist das eigentliche Terminrisiko, die Schnittstelle ist so gut wie sicher, und nur die Drei-Punkt-Schätzung lässt diesen Unterschied hervortreten, wo eine einzelne Sechs ihn verbergen würde. Auf Projektebene summieren sich die Erwartungswerte zu neunzehn Tagen; die Varianzen summieren sich zu 6,111, deren Wurzel eine Projekt-Standardabweichung von 2,47 Tagen ergibt, unter der Voraussetzung, dass die vier Pakete unabhängig geschätzt werden, eine Annahme, die in diesem Fall zu prüfen ist, da ein und derselbe Integrator mehrere Pakete verbinden könnte. Das Konfidenzintervall von etwa 90 % beträgt 19 ± 1,645 × 2,47, also eine Spanne von etwa fünfzehn bis dreiundzwanzig Personentagen. Bezogen auf einen Beratertagessatz von CHF 1'350 ergibt sich der Erwartungswert zu etwa CHF 25'650 und die Spanne zu etwa CHF 20'250 bis CHF 31'050.

Visualisierungen

Die Technik erzeugt zwei Objekte, und jedes verlangt sein eigenes Medium. Das erste ist die Schätztabelle: aus Zeilen und Spalten gebaut, ist sie der Liefergegenstand selbst, und ihre Spalten sind das, was ein Prüfer nachrechnet, um die Schätzung zu kontrollieren. Sie bleibt in HTML, auswählbar und nachrechenbar, statt in einem Bild erstarrt.

Das zweite ist die Logik der Formel, die sich gezeichnet besser zeigt als tabelliert. Die Beta-Verteilungskurve eines der Pakete, der Datenmigration, trägt ihre drei Werte auf der Achse, den Modus am Gipfel und den Erwartungswert, der rechts von diesem Gipfel markiert ist, von der langen pessimistischen Flanke gezogen. Sie zeigt auf einen Blick, warum der Erwartungswert das wahrscheinlichste Szenario übersteigt und warum die Spannweite die Streuung misst. Die Kurve macht die Mechanik der Gewichtung sichtbar, die Tabelle trägt die reproduzierbare Berechnung.

Aufwand

Werkzeuge

Die Tabellenkalkulation ist die ehrliche und schwer zu schlagende Wahl. Die drei Formeln stehen in wenigen Zellen, die Summe und das Intervall berechnen sich bei jeder Änderung eines Wertes neu, und die Sensitivitätsanalyse, die Schätzung unter überarbeiteten Tripeln erneut durchzuspielen, geschieht in derselben Arbeitsmappe. Für ein Projekt von einigen Dutzend Bestandteilen ist nichts weiter nötig.

Projektplanungswerkzeuge integrieren die Drei-Punkt-Schätzung oft nativ: man gibt O, M und P je Aufgabe ein, und das Werkzeug berechnet den Erwartungswert und propagiert die Dauern in den Terminplan, was es erspart, eine Tabellenkalkulation neben dem Plan zu führen. Wo die Unabhängigkeitsannahme nicht hält, übernehmen Module oder Plug-ins zur Monte-Carlo-Simulation: sie ziehen tausende Szenarien und lassen die korrelierten Bestandteile gemeinsam variieren und liefern das reale Konfidenzintervall, das die Wurzel der Summe der Varianzen nur unter Unabhängigkeit geben kann. Dieser Mehraufwand an Werkzeugen rechtfertigt sich nur, wenn die Korrelationen real und der Einsatz der Schätzung hoch sind; darunter fügt er eine Lizenz hinzu, ohne etwas beizutragen, was die Tabellenkalkulation nicht bereits leistet.

Quellen

• IIBA, A Guide to the Business Analysis Body of Knowledge (BABOK Guide) v3, §10.19 Estimation: die Einordnung von PERT unter die Schätzmethoden, der gewichtete Mittelwert, der dem wahrscheinlichsten Szenario viermal mehr Gewicht gibt, und die Verknüpfung der Schätzung mit dem Konfidenzintervall, der Varianz und der Standardabweichung als Masse der Genauigkeit. Der BABOK beschreibt diese Methoden und schreibt keine Varianzformel vor, die aus der Gründungsarbeit von 1959 stammt.
• D. G. Malcolm, J. H. Roseboom, C. E. Clark und W. Fazar, «Application of a Technique for Research and Development Program Evaluation», Operations Research, 7(5), 1959, S. 646-669: die Gründungsarbeit von PERT, entwickelt im Special Projects Office der US Navy für das Polaris-Programm, die die Näherung durch eine Beta-Verteilung und die Herleitung des Erwartungswerts und der Varianz aus den drei Schätzungen darlegt.
• PMI, A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK Guide), 8. Auflage, Mehrpunktschätzung (Multipoint estimating): der Name, den der PMBOK Guide der Technik gibt, und ihre Definition, ein Mittelwert oder gewichteter Mittelwert der optimistischen, wahrscheinlichsten und pessimistischen Schätzung, wenn die Schätzung eines Vorgangs unsicher ist, samt ihrem Einsatz bei der Schätzung von Dauern und Kosten. Die einzige Formel, die er ausschreibt, ist der Dreiecksmittelwert tE = (tO + tM + tP) / 3, angeführt als "eine häufig verwendete Formel"; die Gewichtung mit vier und die Standardabweichung (P − O) / 6 stammen aus der Arbeit von 1959.