Monte-Carlo-Simulation

Zweck

Der PMBOK Guide nennt die Monte-Carlo-Simulation die gebräuchlichste Simulationstechnik der quantitativen Risikoanalyse. Diese Analyse misst die gemeinsame Wirkung der identifizierten Risiken und der übrigen Unsicherheiten auf Endtermin und Kosten des Projekts.

Ein Terminplan nach der Methode des kritischen Pfades addiert einzelne Dauern und liefert einen Termin. Dieser Termin sagt nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Projekt ihn hält. Im Beispiel weiter unten liegt der berechnete Termin beim 7. Perzentil: 93 von 100 Ziehungen enden später.

Die Technik stützt diese Entscheide: den Termin oder das Budget, das der Sponsor zusagt, mit seinem Konfidenzniveau; die Höhe der Reserve für Unvorhergesehenes; die Vorgänge und Risiken, die eng zu überwachen sind. Ihre Ergebnisse sind die S-Kurve des Endtermins oder der Kosten und der Kritikalitätsindex jedes Vorgangs.

Einsatz

Wann einsetzen

• Termin oder Budget, das vor einem Sponsor zugesagt wird: mit der Zahl ein Konfidenzniveau nennen.
• Netzplan mit mehreren zusammenlaufenden Pfaden: nur die Simulation misst die Verzögerung, die das Zusammenlaufen hinzufügt.
• Reserve für Unvorhergesehenes, die zu bemessen ist: sie an einem gewählten Perzentil ablesen, statt sie als Prozentsatz festzulegen.
• Register mit bezifferbaren Risiken: ihre gemeinsame Wirkung auf den Endtermin messen, die die Bewertung Risiko für Risiko nicht liefert.
• Meilensteinentscheid: die Simulation für die Restarbeit neu laufen lassen, bevor der Termin bestätigt oder verschoben wird.
• Hoher Einsatz gegenüber den Kosten der Analyse: einige Tage Vorbereitung gegen einen Festpreisvertrag oder eine regulatorische Frist.

Wann nicht einsetzen

• Kurzes Projekt mit einem einzigen Pfad, geringer Einsatz: die Drei-Punkt-Schätzung (PERT) liefert die Bandbreite ohne eigenes Werkzeug.
• Frage nach dem Geschäftsentscheid selbst: Marge, Preis oder Kapitalwert gehören zur Entscheidungssimulation.

Beschreibung

Drei Techniken tragen den Namen Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation im Projekt, die Entscheidungssimulation und die Simulation von Prozessen beantworten drei verschiedene Fragen. Alle drei ziehen zufällig aus Verteilungen. Sie unterscheiden sich im Gegenstand, den sie modellieren: der Netzplan eines Terminplans oder die Gliederung eines Budgets, eine Geschäftsformel, ein ausführbarer Prozess mit seinen Warteschlangen.

Das Modell: ein Netzplan, Bandbreiten, Risiken

Das Terminmodell ist der Netzplan der Methode des kritischen Pfades. Jeder Vorgang hat darin mindestens einen Vorgänger und einen Nachfolger, und keine Terminvorgabe ersetzt eine Abhängigkeit. Ein Vorgang ohne Nachfolger schluckt jede Verzögerung, ohne sie weiterzugeben; eine Terminvorgabe hält den Vorgang fest, gleich welche Verzögerung für seine Vorgänger gezogen wird.

Jeder unsichere Vorgang erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung: die Dauern, die er annehmen kann, und die Wahrscheinlichkeit jeder Dauer. Der Practice Standard for Scheduling des PMI richtet ihre Breite nach der Zuversicht der schätzenden Person: Je sicherer sie ist, desto schmaler die Verteilung. In der Praxis fragt die Analystin je Vorgang drei Werte ab, das Minimum, den wahrscheinlichsten Wert und das Maximum, und wählt dann eine Dreiecks- oder Beta-PERT-Verteilung, jene der Drei-Punkt-Schätzung. Sie fragt die Extremwerte vor dem wahrscheinlichsten Wert ab, damit die Fachperson ihre Grenzen nicht um diesen Wert herum enger zieht; die Entscheidungssimulation beschreibt diese Elizitation im Einzelnen.

Die Risiken aus dem Risikoregister kommen gesondert hinzu. Eine Bandbreite der Dauer wirkt in jeder Ziehung. Ein Risiko tritt nur in einem Teil der Ziehungen ein: Die Analystin gibt ihm eine Eintrittswahrscheinlichkeit und eine Bandbreite der Auswirkung und hängt es an den Vorgang, den es verzögert. Die Risikoanalyse und das Risikomanagement führen dieses Register; ein Risiko, das nur als "hoch" eingestuft ist, braucht zuerst Zahlen.

Standardmässig ziehen die Werkzeuge jedes Element unabhängig. Zwei Vorgänge, die vom selben Team oder vom selben Lieferanten abhängen, geraten gemeinsam in Verzug; die Analystin erfasst diese Verbindung im Modell als Korrelation. Bei einem Budget macht das Weglassen die Verteilung zu schmal; das GAO, das Rechnungsprüfungsamt des US-Kongresses, schreibt, dass daraus ein falsches Gefühl von Sicherheit in der Schätzung entsteht. Bei einem Terminplan hängt die Wirkung von der Lage der Vorgänge ab: In einer Kette hintereinander verengt die Unabhängigkeit die Verteilung; auf parallelen Zweigen, die von derselben Ursache abhängen, übertreibt sie den weiter unten beschriebenen Merge-Bias.

Eine Iteration, dann zehntausend

Eine Iteration zieht für jeden Vorgang eine Dauer und entscheidet für jedes Risiko, ob es eintritt. Das Werkzeug wiederholt dann die Vorwärtsrechnung der Methode des kritischen Pfades, die die frühesten Termine berechnet. Es hält den Endtermin und die kritischen Vorgänge fest. Der Practice Standard beschreibt jede Iteration als eine mögliche Ausprägung des Terminplans mit ihrem eigenen kritischen Pfad.

Einige tausend Iterationen ergeben die Verteilung der Endtermine. Der Kritikalitätsindex eines Vorgangs ist der Anteil der Iterationen, in denen er kritisch war. Ein Vorgang ausserhalb des deterministischen kritischen Pfades kann einen höheren Index erreichen als die Vorgänge auf diesem Pfad; eine Überwachung, die sich am deterministischen Pfad ausrichtet, übersieht ihn. Die Analystin legt den Startwert des Zufallsgenerators fest, damit sich die Simulation identisch wiederholen lässt.

Der Merge-Bias

Wo mehrere parallele Pfade zusammenlaufen, wartet der nachfolgende Vorgang auf den letzten. Haben drei Zweige je eine Wahrscheinlichkeit von 80%, rechtzeitig fertig zu werden, und sind sie unabhängig, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei rechtzeitig fertig werden, 0,8 × 0,8 × 0,8, also 51%. Diese Verzerrung heisst Merge-Bias.

Die Drei-Punkt-Schätzung berechnet die Bandbreite eines einzigen Pfades, des kritischen. Laut Practice Standard erkennt PERT nicht, dass parallele Pfade an den Zusammenführungspunkten Risiko hinzufügen, und nur eine Simulation misst dessen Ausmass. Im Netzplan des Beispiels liefert PERT auf A-B-E ohne das Risiko R1 einen Mittelwert von 47,8 Tagen und eine Standardabweichung von 3,8 Tagen; die Normalverteilung ordnet 45 Tagen 23% zu. Die Simulation mit denselben Bandbreiten ordnet ihnen 9% zu. Der PERT-Mittelwert liegt schon über der Summe der wahrscheinlichsten Werte von 45 Tagen, weil die Bandbreiten über dem wahrscheinlichsten Wert weiter reichen als darunter.

Die S-Kurve lesen

Das Histogramm zählt die Iterationen nach Endtermin. Seine Summenkurve ist die S-Kurve: für jeden Termin der Anteil der Iterationen, die an diesem Tag oder früher enden. Das Perzentil P80 ist der Termin, den 80% der Iterationen nicht überschreiten. Der PMBOK Guide nennt als Beispiel ein Projekt, das mit 10% Wahrscheinlichkeit spätestens am 13. Mai 2027 fertig ist und mit 90% spätestens am 28. Mai 2027.

Zuerst liest man auf der Kurve ab, wo der Termin des deterministischen Terminplans liegt. Dann liest man den Termin zu jedem Konfidenzniveau ab: P50, P80, P90. Der Sponsor wählt das Niveau nach dem Überschreitungsrisiko, das er hinnimmt. Die Analystin liefert die Kurve; das Perzentil wählt sie nicht.

Die Reserve für Unvorhergesehenes bemessen

Die Reserve für Unvorhergesehenes (Kontingenzreserve, contingency reserve) ist die Zeit oder das Geld, das der Termin- oder Kostenbasisplan für bekannte Risiken vorsieht. Für die Kosten lässt der PMBOK Guide zu, sie als Prozentsatz, als Pauschalbetrag oder mit einer Methode der quantitativen Analyse festzulegen. Die Simulation liefert den dritten Weg: Die Reserve ist die Differenz zwischen dem Wert beim gewählten Perzentil und dem Wert des deterministischen Plans.

Die Managementreserve (management reserve) bleibt ausserhalb dieser Rechnung. Sie deckt Unbekanntes, das niemand identifiziert hat, liegt ausserhalb des Basisplans und wird in der Regel auf Entscheid der Geschäftsleitung freigegeben.

Das Budget: dieselbe Mechanik auf dem Projektstrukturplan

Der Leitfaden zur Kostenschätzung des GAO wendet dasselbe Verfahren auf das Budget an. Jedes Element des Projektstrukturplans (PSP, englisch WBS) erhält eine Kostenverteilung. Jede Iteration zieht je Element einen Betrag und bildet die Summe. Die Wiederholung ergibt eine S-Kurve der Gesamtkosten, an der man für jeden Betrag das Konfidenzniveau abliest. Im Beispiel des GAO liegt der Median bei USD 908'000; ein Programmleiter, der 70% Sicherheit will, budgetiert USD 1'096'000. Etwa USD 271'000 trennen dieses Budget von der Punktschätzung, die bei rund USD 825'000 liegt. Diese Differenz ist die Reserve für Unvorhergesehenes im Budget.

Die Analyse wiederholen

Laut PMBOK Guide läuft die quantitative Analyse während des ganzen Projekts, wann immer das Projekt sie verlangt. An jedem Meilenstein ersetzen die Ist-Dauern die Bandbreiten der abgeschlossenen Vorgänge, und die Analystin simuliert die Restarbeit. Die Kurve wird mit dem Projektfortschritt schmaler. Ein P80, das sich von einer Simulation zur nächsten nach hinten verschiebt, zeigt an, dass das Projekt seine Reserve schneller aufbraucht, als es vorankommt.

Fallstricke

Der Terminplan, der kein Netzplan ist

Die Simulation eines Terminplans mit Terminvorgaben oder Vorgängen ohne Nachfolger liefert eine steile und beruhigende Kurve. Vor der ersten Simulation prüft die Analystin, ob jeder Vorgang ausser den Start- und Endmeilensteinen einen Vorgänger und einen Nachfolger hat. Jede Terminvorgabe wird zu einem Meilenstein, der über eine eigene Abhängigkeit mit dem Netzplan verbunden ist. Die Risikomodule der Planungswerkzeuge liefern diese Prüfung als Bericht vor der Ziehung.

Zu schmale Bandbreiten

Eine Fachperson, die für einen Vorgang, den sie nie ausgeführt hat, 20, 22 und 24 Tage angibt, behauptet eine Sicherheit, die sie nicht hat. Schmale Bandbreiten ergeben eine schmale Kurve, die als belastbares Resultat durchgeht. Die Analystin hält die Herkunft jeder Bandbreite fest und prüft sie an den Ist-Dauern ähnlicher Projekte, wo es solche gibt.

Das P80 als Versprechen

Das P80 gilt für das Modell: diesen Netzplan, diese Bandbreiten, diese Risiken. Es deckt weder eine Änderung des Umfangs noch ein Risiko, das niemand identifiziert hat. Der Bericht nennt das Perzentil mit seinen Annahmen, und die Managementreserve bleibt eine eigene Position.

Die vergessene Korrelation

Zieht das Werkzeug zehn Arbeitspakete beim selben Lieferanten als unabhängig, gleichen sich ihre Verspätungen und Vorsprünge gegenseitig aus. Die Kurve wird zu schmal. Die Analystin erfasst die Korrelationen, die die Fachseite kennt, oder schreibt die Unabhängigkeitsannahme in den Bericht.

KI-Überlegungen

Ein Sprachmodell schreibt das Simulationsskript: rund hundert Zeilen Python, die einen Export des Terminplans einlesen, die Dauern ziehen, die Vorwärtsrechnung wiederholen und die kritischen Pfade zählen. Eine Analystin, die nicht programmiert, erhält so ein reproduzierbares Werkzeug. Bevor sie sich darauf verlässt, lässt sie es auf Netzplänen laufen, deren Antwort sie kennt. Auf einer einzelnen Kette von Vorgängen mit Dreiecksverteilung muss der simulierte Mittelwert der Summe der (Min + wahrscheinlichster Wert + Max)/3 entsprechen. Auf zwei gleichen, unabhängigen Zweigen, die zusammenlaufen, muss der Anteil der Iterationen, die vor dem Median eines Zweiges enden, 25% betragen, also 0,5 × 0,5. Dasselbe Sprachmodell prüft einen Export des Terminplans und listet die Vorgänge ohne Nachfolger und die Terminvorgaben auf.

Das Modell hilft auch, die Bandbreiten vorzubereiten. Aus einer Historie vergleichbarer Projekte schlägt es je Vorgangstyp ein Minimum, einen wahrscheinlichsten Wert und ein Maximum vor, welche die verantwortliche Person des Vorgangs korrigiert. Die Bandbreite bleibt als "vorgeschlagen" markiert, bis jemand sie übernimmt. Zum Schluss verfasst das Modell den Bericht aus den Perzentilen und Indizes, die das Werkzeug berechnet hat.

Ein Sprachmodell, das man nach dem P80-Termin eines Projekts fragt, antwortet mit einer plausiblen Zahl, ohne eine einzige Iteration gezogen zu haben. Budgets, Lieferantenpreise und Vertragsrisiken bleiben ausserhalb von Onlinediensten, deren Nutzungsbedingungen die Organisation nicht kontrolliert.

Beispiele

Eine Waadtländer Gemeinde eröffnet einen Online-Schalter. Der deterministische Terminplan, auf den wahrscheinlichsten Werten aufgebaut, ergibt 45 Arbeitstage: 10 + 25 + 10 über den Pfad A-B-E.

Der Sponsor verlangt ein Konfidenzniveau von 80%: Die Gemeinde sagt 55 Arbeitstage zu, davon 10 Tage Reserve für Unvorhergesehenes. Der deterministische Terminplan wies B als kritisch aus; die Simulation weist D aus, weil R1 diesen Vorgang in einem Viertel der Iterationen verlängert. Die Gemeinde verfolgt deshalb D jede Woche und hakt beim Kanton nach.

Visualisierungen

Das Histogramm mit seiner S-Kurve zeigt, mit welchem Konfidenzniveau ein Termin oder ein Budget hält. Der Kritikalitätsindex, Vorgang für Vorgang, zeigt, welcher Pfad am häufigsten der längste ist. Das Tornadodiagramm der Sensitivitätsanalyse ordnet die Eingaben nach ihrer Korrelation mit dem Endtermin und zeigt, welche ihn am stärksten verschiebt. Im Beispiel des PMBOK Guide zeigt jeder Balken die Korrelation einer Eingabe mit der Projektdauer.

Kritikalität und Sensitivität werden aus denselben Iterationen abgelesen und beantworten zwei Fragen. Beim Online-Schalter weist der Index auf D, kritisch in 47% der Iterationen; das Tornadodiagramm weist auf R1, dessen Korrelation mit der Projektdauer 0,50 beträgt. Die Migration C verschiebt den Termin kaum.

Wer einen Simulationsbericht erhält, prüft ihn mit diesen Fragen. Wo liegt der Termin des deterministischen Terminplans auf der Kurve? Wer hat das Konfidenzniveau gewählt? Enthält das Modell die Risiken aus dem Register und die bekannten Korrelationen oder nur Bandbreiten der Dauer?

Aufwand

Werkzeuge

Die Risikomodule der Planungswerkzeuge (Oracle Primavera Risk Analysis, Safran Risk, Deltek Acumen Risk) lesen den Netzplan, übernehmen die Bandbreiten und Risiken und liefern die S-Kurve, den Kritikalitätsindex und das Tornadodiagramm. Sie eignen sich für Terminpläne mit mehreren hundert Vorgängen.

Für das Budget ziehen Simulations-Add-ins für Tabellenkalkulationen (Lumivero @RISK, Oracle Crystal Ball) die Kosten des Projektstrukturplans in der Arbeitsmappe, die das Controlling bereits nutzt.

Ein Python-Skript mit NumPy deckt einen Netzplan von einigen Dutzend Vorgängen in rund hundert Zeilen ab. R bietet dieselben Ziehungsfunktionen. Das Skript lässt sich versionieren und dokumentiert das Modell.

Quellen

• PMI, A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK Guide), 8. Auflage, §2.7.2.3 Perform Risk Analysis, §2.4 (Reserves) und Section 5, Einträge Simulation, Sensitivity analysis und Reserve analysis, Glossar: die Simulation als Werkzeug der quantitativen Risikoanalyse, Monte-Carlo als ihre gebräuchlichste Form, die Verteilung des Endtermins, das Tornadodiagramm, die Reserve für Unvorhergesehenes und die Managementreserve.
• PMI, Practice Standard for Scheduling, Abschnitte Monte Carlo Simulation und Schedule Risk: die Verteilung je Vorgang, deren Breite der Zuversicht der schätzenden Person folgt, die Iteration als Ausprägung des Terminplans, der Merge-Bias, den PERT nicht sieht.
• U.S. Government Accountability Office, Cost Estimating and Assessment Guide, GAO-20-195G, 2020, Kapitel 12: die Simulation angewandt auf die Kosten, die S-Kurve als Konfidenzniveau gelesen, die Reserve für Unvorhergesehenes und die Korrelation zwischen Kostenelementen.