Interner Zinsfuss

Ziel

Der interne Zinsfuss beantwortet nur eine Frage: bei welchem Renditesatz erreicht dieses Projekt genau seine Gewinnschwelle, und übertrifft dieser Satz, was wir von unserem Kapital verlangen. Es ist die Frage nach dem grünen Licht. Der Nettobarwert beantwortet eine benachbarte, aber eigenständige Frage, wie viel Wert in Franken, und beide werden aus derselben Zahlungstabelle abgelesen, die die Kosten-Nutzen-Analyse liefert. Der interne Zinsfuss ist die Nullstelle der Nettobarwert-Funktion, der besondere Abzinsungssatz, bei dem diese Funktion null ergibt. Alles, was der interne Zinsfuss dem Nettobarwert hinzufügt, liegt in der Umwandlung des Ergebnisses in einen Prozentsatz und in dem, was dieser Prozentsatz möglich macht.

Was dieser Prozentsatz möglich macht, ist zweifach. Zunächst erlaubt er eine Annahmeentscheidung durch einfachen Vergleich: übertrifft der interne Zinsfuss die Mindestverzinsungsrate, überspringt das Projekt die Hürde, andernfalls nicht. Sodann erlaubt er eine Rangfolge: zwischen zwei Lösungsansätzen gleicher Dauer ist derjenige mit dem höheren internen Zinsfuss unter bestimmten Bedingungen der bessere. Das ist der Einsatz, den das BABOK ausdrücklich hervorhebt, zwei Lösungsansätze über denselben Zeitraum zu vergleichen und denjenigen mit dem höheren internen Zinsfuss zu empfehlen.

Das Ergebnis ist ein Prozentsatz je Option, zusammen mit der Mindestverzinsungsrate, an der er gemessen wird, und einem Satz zu den Zahlungsannahmen, aus denen er folgt. Ein interner Zinsfuss ohne seine Mindestverzinsungsrate ist eine Zahl ohne Urteil, und ein interner Zinsfuss ohne die Zahlungen, die ihn erzeugt haben, ist nicht überprüfbar.

Einsatz

Wann einsetzen

• Die Zahlungstabelle besteht bereits: die Kosten-Nutzen-Analyse ist erstellt, und man will einen einzelnen, mit der Mindestverzinsungsrate vergleichbaren Prozentsatz statt eines Betrags.
• Mehrere Ansätze gleicher Dauer und vergleichbarer Grössenordnung ordnen: bei ähnlichem Horizont und Kapitaleinsatz weist der höchste interne Zinsfuss auf die zu behaltende Option.
• An einen Entscheider kommunizieren, der in Sätzen denkt: ein Prozentsatz vergleicht sich sogleich mit den Kreditkosten oder der erwarteten Rendite, wo ein Betrag in Franken einen Rahmen zur Deutung braucht.
• Konventionelle Zahlungen: ein anfänglicher Kapitaleinsatz gefolgt von positiven Nettoerträgen, ein einziger Vorzeichenwechsel, sichern einen eindeutigen und zuverlässigen internen Zinsfuss.

Wann nicht einsetzen

• Nicht konventionelle Zahlungen, mehrere Vorzeichenwechsel: die Lösung kann mehrere interne Zinsfüsse oder keinen zulassen, keiner ist massgebend, zum Nettobarwert übergehen, ausgewertet bei der Mindestverzinsungsrate.
• Sich ausschliessende Optionen ungleicher Grössenordnung oder Dauer: die Rangfolge nach internem Zinsfuss kann dem geschaffenen Wert widersprechen, mit dem Nettobarwert entscheiden, der Franken und nicht Sätze vergleicht.
• Keine festgelegte Mindestverzinsungsrate: ohne beschlossene Kapitalkosten hat der interne Zinsfuss nichts, woran er sich misst, zuerst die Mindestverzinsungsrate festlegen oder einstweilen bei der Amortisationsdauer bleiben.

Beschreibung

Der interne Zinsfuss ist die Nullstelle des Nettobarwerts

Der gesamte Mechanismus steckt in einer Gleichung, dem Nettobarwert, anders gelesen. Der Nettobarwert einer Zahlungsreihe bei einem Abzinsungssatz r lautet NBW(r) = −I + Σ CF_t / (1 + r)^t, wobei I der anfängliche Kapitaleinsatz und CF_t die Nettozahlung der Periode t ist. Der interne Zinsfuss ist der Wert von r, für den dieser Ausdruck null ergibt. Das BABOK formuliert es mit genau diesen Worten: die Berechnung des internen Zinsfusses beruht auf dem Zinssatz, bei dem der Nettobarwert null ist. Es ist daher nichts neu abzuzinsen oder zum Zeitwert des Geldes neu zu belegen, was der eigene Bereich des Nettobarwerts ist: der interne Zinsfuss verbraucht dieselbe Formel und stellt ihr eine andere Frage, nach r auflösen statt bei einem gegebenen r auszuwerten.

Dieser Unterschied in der Ausrichtung hat eine unmittelbare praktische Folge. Der Nettobarwert wird direkt berechnet: der Satz ist bekannt, die Formel wird angewandt. Der interne Zinsfuss dagegen lässt sich über zwei Perioden hinaus nicht direkt berechnen, weil die Gleichung zu einem Polynom in (1 + r) ohne bequeme analytische Lösung wird. Man findet ihn durch sukzessive Näherung, eine Tabellenfunktion (IKV, XINTZINSFUSS) oder eine Interpolation von Hand zwischen zwei Versuchssätzen, der eine mit einem positiven Nettobarwert, der andere mit einem negativen, wobei sich der interne Zinsfuss zwischen beiden einordnet. Der einzige Schritt, der sich nie ändert, ist die Überprüfung: der gefundene Satz wird wieder in die Formel eingesetzt und geprüft, ob der Nettobarwert auf null zurückfällt. Es ist die Prüfung, an der eine falsch erfasste Tabelle zuerst scheitert.

Die Entscheidungsregel und ihre Voraussetzung

Die Annahmeregel ist die des BABOK, ohne Abstufung: ist der interne Zinsfuss der Initiative geringer als die Mindestverzinsungsrate, soll die Investition nicht getätigt werden, übertrifft er sie, ist das Projekt annehmbar. Die Rangregel folgt: ist die Hürde einmal übersprungen, wird zwischen zwei Ansätzen gleicher Dauer der höhere interne Zinsfuss bevorzugt. Das BABOK setzt die Bedingung gleicher Dauer ausdrücklich. Eine zweite lässt es stillschweigend, und sie ist es, die Einsteiger zu Fall bringt: die Grössenordnung muss ebenfalls vergleichbar sein. Zwei Projekte gleicher Dauer, aber sehr unterschiedlichen Kapitaleinsatzes lassen sich nach ihrem Satz allein nicht zuverlässig ordnen, denn ein hoher Satz auf eine kleine Summe kann weniger Wert schaffen als ein bescheidener Satz auf eine grosse. Die Rangfolge nach internem Zinsfuss ist nur bei ähnlicher Dauer und Grössenordnung sicher, sobald eines von beiden abweicht, entscheidet der Nettobarwert.

Der interne Charakter und seine Grenzen

Der interne Zinsfuss heisst intern, weil er nur von den Zahlungen des Projekts selbst abhängt. Das BABOK betont dies als eine Grenze, die man kennen muss: der interne Zinsfuss ist intern zu einer Organisation, er berücksichtigt keine äusseren Einflüsse wie Inflation, schwankende Zinssätze oder einen sich wandelnden Geschäftskontext. Ein interner Zinsfuss von 12% ist ein nominaler Satz, berechnet auf nominalen Zahlungen, er sagt nichts über die Wirklichkeit dieser Zahlungen angesichts einer Inflation, die sie aushöhlen würde, noch über Kapitalkosten, die während der Projektlebensdauer steigen würden. Genau deshalb muss die Mindestverzinsungsrate, mit der man ihn vergleicht, diese Elemente einbeziehen: in der Mindestverzinsungsrate tritt der äussere Kontext in die Entscheidung ein.

Worauf zu achten ist

Der interne Zinsfuss ist schnell berechnet und weckt ein Vertrauen, das über seinen Gültigkeitsbereich hinausreicht.

Der erste Fallstrick ist der der nicht konventionellen Zahlungen. Die Gleichung NBW(r) = 0 ist ein Polynom vom Grad n in (1 + r), und die Vorzeichenregel von Descartes begrenzt die Zahl der positiven Nullstellen durch die Zahl der Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe. Ein Kapitaleinsatz gefolgt von Erträgen, ein einziger Vorzeichenwechsel, ergibt einen eindeutigen internen Zinsfuss. Doch eine Reihe, die wieder ins Negative kippt, eine grosse Zahlung für Rückbau oder Wiederherstellung am Lebensende, eine Erneuerungsinvestition auf halbem Weg, kann mehrere ergeben. Eine Reihe von CHF −100'000 in Jahr 0, +CHF 310'000 in Jahr 1 und −CHF 220'000 in Jahr 2 hat zwei Vorzeichenwechsel und zwei mathematisch gültige interne Zinsfüsse: 10% und 100%. Man prüft es, indem man x = 1 + r setzt, was −100'000 x² + 310'000 x − 220'000 = 0 ergibt, also 10 x² − 31 x + 22 = 0, dessen Wurzeln x = 1.1 und x = 2 sind. Bei 10% wie bei 100% ist der Nettobarwert dieser Reihe genau null. Keiner der beiden Sätze ist massgebend, und der Ausweg besteht darin, den internen Zinsfuss aufzugeben und den Nettobarwert bei der tatsächlichen Mindestverzinsungsrate der Organisation auszuwerten, der ein einziges Urteil liefert.

Der zweite Fallstrick ist der der sich ausschliessenden Optionen ungleicher Grössenordnung, bei dem die Rangfolge nach internem Zinsfuss der Rangfolge nach Wert widerspricht. Man nehme ein Pilotprojekt und eine vollständige Einführung derselben Initiative über ein Jahr, zu vergleichen mit der Mindestverzinsungsrate von 8%.

Diese beiden Optionen haben dieselbe Dauer, ein Jahr, und die Regel des BABOK bestünde also ihren Dauertest. Sie scheitert dennoch, weil die Grössenordnung um den Faktor zehn abweicht. Das Entscheidungskriterium ist der Nettobarwert.

Der dritte Fallstrick ist die Wiederanlageannahme. Die Rangfolge nach internem Zinsfuss setzt stillschweigend voraus, dass jede Zwischenzahlung zum internen Zinsfuss selbst bis zum Projektende wiederangelegt wird. Ein zu 12% berechnetes Projekt setzt also voraus, dass die Organisation jede jährliche Einnahme wieder zu 12% anlegt, was selten zutrifft: ihre reale Wiederanlagemöglichkeit liegt näher bei ihren Kapitalkosten. Der modifizierte interne Zinsfuss (MIRR) korrigiert diese Verzerrung, indem er jede Zwischenzahlung zur Mindestverzinsungsrate bis zum Ende wiederanlegt, diese Beträge zu einem Endwert summiert und dann die n-te Wurzel des Verhältnisses zum Kapitaleinsatz zieht. Bei Option A (CHF 50'000 pro Jahr über drei Jahre, Mindestverzinsungsrate 8%) beträgt der Endwert 50'000 × 1.08² + 50'000 × 1.08 + 50'000 = CHF 162'320, und der MIRR beträgt (162'320 / 120'100)^1/3 − 1 ≈ 10.56%, gegenüber einem internen Zinsfuss von 12.00%. Der MIRR fällt unter den internen Zinsfuss, genau in die Richtung, die die Kritik ankündigt: die Wiederanlage zu den realistischen 8% statt zu den 12% des Projekts senkt die annualisierte Rendite. Wenn der interne Zinsfuss eines Projekts deutlich über den Kapitalkosten liegt, ist es der MIRR, der die vertretbare Zahl liefert.

KI-Überlegungen

Der Gewinn auf dem mechanischen Teil ist deutlich. Ein an eine Tabelle angebundenes Sprachmodell baut und prüft die Zahlungsformel, schreibt die IKV- oder XINTZINSFUSS-Funktion und führt vor allem die Überprüfung aus, die die Technik verlangt: den gefundenen Satz wieder in die Formel einsetzen und bestätigen, dass der Nettobarwert auf null fällt. Es erkennt auch, was ein eiliger Mensch übersieht, die Zahl der Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe, und meldet sogleich eine nicht konventionelle Reihe, die zur Vorsicht bei der Eindeutigkeit des internen Zinsfusses mahnt. Es berechnet mühelos den MIRR und stellt die beiden Zahlen nebeneinander, internen Zinsfuss und MIRR, die die Wiederanlageannahme sichtbar machen. Auf diesem arithmetischen Boden ist die Maschine schneller und zuverlässiger als die Handrechnung am Ende eines Workshops.

Drei Entscheidungen entgehen ihm: jene, die die Analyse ausmachen. Die Wahl der Mindestverzinsungsrate ist ein unternehmerisches Urteil: sie schliesst die Kapitalkosten, das Projektrisiko und den äusseren Kontext ein, den der interne Zinsfuss bauartbedingt ausblendet. Die Plausibilität der prognostizierten Zahlungen selbst ist eine Frage zu dieser Organisation und ihrem Markt: ein tadelloser interner Zinsfuss, berechnet auf optimistischen Erträgen, ist eine richtige Zahl auf falschen Daten. Und die Annahmeentscheidung an der Grenze, wenn der interne Zinsfuss die Mindestverzinsungsrate streift, verlangt eine Risikoabwägung, die ein Abstand von wenigen Zehntelprozentpunkten nicht allein entscheidet. Das Modell liefert den Prozentsatz, es entscheidet nicht, ob man es angeht.

Beispiele

Ein KMU der Präzisionsmechanik im waadtländischen Jurabogen prüft zwei Ansätze, um die heute manuelle Qualitätskontrolle beim Wareneingang zu automatisieren. Beide laufen über denselben Horizont von drei Jahren. Die Mindestverzinsungsrate des Unternehmens beträgt 8%, seine gemischten Kosten aus Bankkredit und Eigenkapital.

Option A ist ein vollständiges industrielles Bildverarbeitungssystem: CHF 120'100 investiert in Jahr 0, ein Nettoertrag (eingesparte Arbeit und vermiedener Ausschuss) von CHF 50'000 pro Jahr. Option B ist eine kameragestützte Stichprobenkontrolle: CHF 88'600 investiert, ein Nettoertrag von CHF 35'000 pro Jahr, geringer, weil sie weniger Fehler erkennt.

Den internen Zinsfuss zu finden heisst, den Satz zu suchen, der den Nettobarwert jeder Spalte auf null bringt. Er beträgt 12.00% für Option A und 9.00% für Option B. Die Überprüfung besteht darin, die drei Erträge zu diesem Satz abzuzinsen und zu bestätigen, dass ihre Summe dem Kapitaleinsatz gleicht.

Beide interne Zinsfüsse übertreffen die Mindestverzinsungsrate von 8%: beide Investitionen sind annehmbar. Da die Dauer identisch ist, drei Jahre, und die Grössenordnung ähnlich, greift die Rangregel ohne Konfliktrisiko, und Option A gewinnt, ihr interner Zinsfuss von 12.00% übertrifft die 9.00% von Option B. Der Nettobarwert bestätigt dieselbe Reihenfolge, ohne ihr zu widersprechen: bei 8% beträgt der Nettobarwert von Option A CHF 8'755 gegenüber CHF 1'598 für Option B. Die Rangfolge nach internem Zinsfuss und die Rangfolge nach Wert stimmen überein, weil weder die Grössenordnung noch die Dauer abweichen, die Situation, in der der interne Zinsfuss ein sicheres Rangkriterium ist.

Visualisierungen

Das Nettobarwert-Profil ist die Darstellung, die zeigt, was der interne Zinsfuss ist. Ein Säulendiagramm zweier Prozentsätze gibt die Rangfolge, es sagt nichts über ihre Bedeutung noch über ihre Zerbrechlichkeit. Die Kurve dagegen trägt vier Lesarten in einem einzigen Bild.

• Der Schnittpunkt mit der Nulllinie ist der interne Zinsfuss: es ist die sichtbar gemachte Definition, der Abzinsungssatz, bei dem der Nettobarwert von positiv zu negativ wechselt.
• Die senkrechte Linie der Mindestverzinsungsrate entscheidet die Annahme: eine Kurve, die null rechts dieser Linie schneidet, überspringt die Hürde, eine Kurve, die sie links schneidet, scheitert.
• Die Steigung der Kurve an ihrem Schnittpunkt sagt die Empfindlichkeit: ein Nettobarwert, der um den internen Zinsfuss herum steil abstürzt, signalisiert ein Projekt, dessen Urteil sich mit dem Satz schnell ändert, also näher zu prüfen, wenn die Kapitalkosten unsicher sind.
• Ein zweiter Schnittpunkt derselben Kurve macht den Fallstrick der nicht konventionellen Zahlungen unmittelbar sichtbar: zwei Durchgänge durch null, zwei interne Zinsfüsse und das Zeichen, dass der Prozentsatz allein nicht mehr genügt.

Die Zahlungstabelle und die Überprüfungstabellen sind die andere Hälfte der Visualisierung. Die erste zeigt die Reihen, die die Berechnung speisen, die anderen zeigen die einzige massgebende Operation, den Satz wieder in die Formel einzusetzen und den Nettobarwert auf null zurückfallen zu sehen. Zusammen sagen die Kurve und die Tabellen die Definition, die Überprüfung und die Entscheidung.

Kosten

Werkzeuge

Die Tabellenkalkulation ist das Standardwerkzeug, und sie genügt in nahezu allen Fällen. Excel, Google Sheets und LibreOffice Calc führen die Funktionen IKV (Zahlungen in regelmässigen Abständen), XINTZINSFUSS (unregelmässige Daten) und QIKV (modifizierter interner Zinsfuss, mit einem expliziten Wiederanlagesatz). Alle drei leisten in einer Formel, was die Handrechnung durch Näherung leistet, und die QIKV-Funktion ist der einzige einfache Weg, die Wiederanlageannahme explizit zu machen, statt sie unbemerkt hinzunehmen.

Das Diagramm des Nettobarwert-Profils, in derselben Tabellenkalkulation gezeichnet, verdient es, ebenso als Diagnose- wie als Anschauungswerkzeug bekannt zu sein. Indem man den Nettobarwert für eine Reihe von Sätzen berechnet und als Kurve aufträgt, sieht man auf einen Blick den Schnittpunkt, also den internen Zinsfuss, und erkennt vor allem einen zweiten Schnittpunkt, also einen Fall mehrerer interner Zinsfüsse, den eine Tabellenfunktion bestenfalls mit einer Fehlermeldung anzeigen oder schlimmstenfalls nur mit einer der Wurzeln je nach geliefertem Startsatz zurückgeben würde.

Die Software für Finanzplanung und Projektbewertung mit Modulen zur Investitionsanalyse übernimmt bei einem Portfolio von Optionen, die über die Zeit zu vergleichen und zu verfolgen sind, wo die Pflege von Dutzenden Tabellenmodellen selbst zum Risiko wird. Sonst kommt der interne Zinsfuss ohne spezialisiertes Werkzeug der Business-Analyse aus: er wird aus denselben Zahlungen abgelesen wie der Nettobarwert und die Kosten-Nutzen-Analyse, und es sind diese Techniken, die die Werkzeugkosten tragen.

Quellen

• IIBA, A Guide to the Business Analysis Body of Knowledge (BABOK Guide) v3, §10.20 Financial Analysis: die Definition des internen Zinsfusses als Satz, bei dem eine Investition ihre Gewinnschwelle erreicht, die Regel des Vergleichs mit der Mindestverzinsungsrate, die Rangregel für Optionen gleicher Dauer, der interne Charakter des Masses und seine Formel (der Satz, bei dem der Nettobarwert null ist).
• Aswath Damodaran, NYU Stern School of Business, Capital Budgeting: der interne Zinsfuss als Abzinsungssatz, der den Nettobarwert auf null bringt, die Annahmeregel (annehmen, wenn der interne Zinsfuss über dem Abzinsungssatz liegt), das Problem mehrerer interner Zinsfüsse bei nicht konventionellen Zahlungen, die Wiederanlageannahme und der modifizierte interne Zinsfuss (MIRR) als Korrektiv.
• Project Management Institute, PMBOK Guide, Eighth Edition, §2.4.1 Finance Performance Domain: der interne Zinsfuss als eines der vom PMI benannten finanziellen Wertmasse, neben dem Return on Investment und der Amortisationsdauer.