Histogramm

Ziel

Das Histogramm ist ein Balkendiagramm. Es zeigt die Form der Streuung einer Messgrösse, die ein Mittelwert verdeckt. Das Statistikhandbuch des NIST nennt fünf Fragen, die das Histogramm beantwortet. Aus welcher Verteilung stammen die Daten? Wo liegt ihre Mitte? Wie stark streuen sie? Sind sie symmetrisch oder schief? Enthalten sie Ausreisser? Ein Mittelwert beantwortet nur die zweite Frage, eine Zahlentabelle beantwortet keine auf einen Blick. Das Histogramm gehört zu den Diagrammen der explorativen Datenanalyse.

Das Ergebnis ist das Diagramm mit seinen Daten und einer schriftlichen Deutung: die beobachtete Form, die Lage zu den Grenzen des Kunden und der Entscheid, der daraus folgt. Dieser Entscheid kann lauten, eine Einstellung neu zu zentrieren, zwei vermischte Grundgesamtheiten zu trennen, einen Ausreisser zu prüfen oder zur Berechnung der Prozessfähigkeit überzugehen.

Kaoru Ishikawa stellte für die japanischen Qualitätszirkel sieben elementare Qualitätswerkzeuge zusammen: die Fehlersammelliste, das Pareto-Diagramm, das Ishikawa-Diagramm, das Histogramm, die Regelkarte, das Streudiagramm und die Schichtung. Sein Guide to Quality Control lehrt sie die Menschen, die die Arbeit tun.

Einsatz

Wann einsetzen

• Messgrösse mit Toleranz: prüfen, ob Teile, Gewichte oder Durchlaufzeiten innerhalb der Grenzen des Kunden liegen und mit welcher Reserve.
• Mittelwert, der beruhigt: Eine mittlere Durchlaufzeit von 5 Tagen kann einen Ausläufer von Dossiers mit 30 Tagen verdecken.
• Verdacht auf zwei Grundgesamtheiten: Zwei Gipfel verweisen auf zwei Maschinen, zwei Teams oder zwei Anfragetypen, die zu trennen sind.
• Vor einer Fähigkeitsberechnung oder einem statistischen Test: die Form prüfen, die die Berechnung voraussetzt, meist die Glockenkurve.
• Vor und nach einer Verbesserung: Zwei Histogramme auf derselben Skala zeigen, ob sich die Mitte verschoben hat und ob die Streuung gesunken ist.
• Measure-Phase eines DMAIC-Projekts: die Ausgangsstreuung beschreiben, die das Projekt senken soll.

Wann nicht einsetzen

• Frage nach der Entwicklung über die Zeit: Das Histogramm verliert die Reihenfolge der Messungen. Diese Frage beantwortet die Regelkarte.
• Daten nach Kategorien: Reklamationsgründe oder Störungsarten werden in einem Pareto-Diagramm gezählt und sortiert.
• Einige Dutzend Werte: Die Form hängt davon ab, wo die Klassen beginnen. Besser jeden Wert einzeln in einem Punktdiagramm auf die Achse setzen.

Beschreibung

Die Elemente

Die Messgrösse ist eine stetige Variable, an jeder Einheit erhoben: der Durchmesser jedes Teils, die Durchlaufzeit jedes Dossiers. Die horizontale Achse trägt sie. Eine Klasse ist ein Intervall dieser Messgrösse. Alle Klassen sind gleich breit und decken die Spannweite der Daten ohne Überlappung ab. Sie schliessen lückenlos aneinander an, sodass sich die Balken berühren. Die Häufigkeit einer Klasse ist die Anzahl Werte, die sie enthält. Sie bestimmt die Höhe des Balkens auf der vertikalen Achse.

Die Spezifikationsgrenzen, die untere und die obere, abgekürzt USG und OSG, begrenzen die Toleranz, die der Kunde, die Zeichnung oder der Vertrag festlegt. Die Analystin zeichnet sie als senkrechte Linien ein, zusammen mit dem Sollwert, der meist in der Mitte liegt.

Die Spezifikationsgrenzen kommen von ausserhalb des Prozesses. Die Eingriffsgrenzen einer Regelkarte werden aus den Daten des Prozesses selbst berechnet. Wer die beiden verwechselt, erklärt einen stabilen Prozess für konform, der ausserhalb der Toleranz fertigt.

Das Histogramm erstellen

1. Die Grundgesamtheit festlegen. Die Analystin entscheidet, welche Messgrösse sie an welchen Einheiten, über welchen Zeitraum und mit welchem Messmittel erhebt. Eine Maschine, ein Team oder ein Anfragetyp bildet eine Grundgesamtheit. Mehrere vermischte Grundgesamtheiten ergeben eine Form, die keine von ihnen hat.
2. Die Werte erheben. Die Analystin strebt rund hundert Werte an. Bei einigen Dutzend genügt es, die Klassen zu verschieben, um die Form zu ändern. Sie notiert auch Reihenfolge und Datum jeder Messung, um die Regelkarte zu zeichnen und einen Ausreisser wiederzufinden.
3. Die Spannweite in Klassen teilen. Die Spannweite reicht vom kleinsten bis zum grössten Wert. Keine einheitliche Regel legt die Anzahl Klassen fest. Die Software schlägt eine Breite vor, die die Analystin auf einen lesbaren Wert rundet: 5 µm, 1 Tag oder CHF 100. Sie entscheidet auch, wohin ein Wert fällt, der genau auf einer Klassengrenze liegt, etwa in die Klasse, die an dieser Grenze beginnt, und wendet dieselbe Regel überall an.
4. Zählen. Die Summe der Häufigkeitstabelle ist gleich der Anzahl Messungen. Eine Abweichung verrät einen vergessenen oder doppelt gezählten Wert.
5. Zeichnen. Ein Balken pro Klasse, ohne Abstand zwischen den Balken, die vertikale Achse beginnt bei null. Die Analystin ergänzt die Spezifikationsgrenzen und den Sollwert und vermerkt unter dem Diagramm die Anzahl Werte, den Zeitraum und die Quelle.
6. Lesen und entscheiden. Die Analystin benennt die Form, setzt Mitte und Spannweite in Bezug zu den Grenzen und schreibt den Entscheid unter das Diagramm.

Die Klassenbreite wählen

Die Klassenbreite entscheidet, was das Diagramm zeigt. Bei drei oder vier Balken verschwinden die Schiefe und die zwei Gipfel einer Mischung. Bei zu schmalen Klassen wechseln die Balken zufällig zwischen hoch und tief, und die Leserin sieht Einbrüche, die der Prozess nicht erzeugt. Die Analystin zeichnet deshalb zwei oder drei Breiten mit denselben Daten. Eine Form, die von einer Breite zur nächsten bestehen bleibt, gehört zum Prozess. Eine Form, die verschwindet, gehört zur Klasseneinteilung.

Die Auflösung des Messmittels setzt eine Mindestbreite. Ein Feinzeiger, der auf den Mikrometer genau anzeigt, lässt jede zweite Klasse von 0,5 µm leer. Die gewählte Breite ist ein ganzzahliges Vielfaches der Auflösung. Sonst decken benachbarte Klassen eine ungleiche Anzahl möglicher Anzeigewerte ab: Die Balken wechseln ab, ohne dass der Prozess dafür eine Ursache liefert.

Die Form lesen

Das NIST beschreibt die typischen Formen eines Histogramms. Die bei jeder Form genannten Ursachen sind gängige Arbeitshypothesen aus der Qualitätspraxis: Die Schichtung oder die Regelkarte bestätigt oder verwirft sie.

• Glockenförmig, symmetrisch um einen Gipfel: Die Streuung stammt aus vielen kleinen Ursachen. Mittelwert und Standardabweichung fassen sie zusammen.
• Rechtsschief, mit einem langen Ausläufer zu den grossen Werten: häufig bei Durchlaufzeiten, Dauern und Beträgen, die links durch null begrenzt sind. Der Median beschreibt den üblichen Fall besser als der Mittelwert, den der Ausläufer nach oben zieht. Die Wahl zwischen Mittelwert und Median behandelt unsere Fiche zur deskriptiven und schliessenden Statistik.
• Linksschief: Die Werte stossen an eine Obergrenze, eine Ausbeute nahe 100% oder eine Höchstnote. Die Analystin sucht diese Obergrenze.
• Bimodal, mit zwei Gipfeln: Das NIST gibt zwei Deutungen. Die erste ist die Mischung zweier Verteilungen mit verschiedener Lage, meist verursacht durch zwei Maschinen, zwei Teams oder zwei Lieferanten. Die Schichtung trennt dann die Daten nach Quelle, und jede Quelle erhält ihr eigenes Histogramm. Die zweite ist ein Prozess, der über die Zeit schwankt, was die Regelkarte zeigt.
• Plateauförmig, mit kurzen Ausläufern: Die Balken sind über fast die ganze Spannweite ähnlich hoch. Mehrere nahe beieinanderliegende Grundgesamtheiten überlagern sich, oder die Einstellung ist während des Zeitraums abgedriftet. Die Regelkarte entscheidet zwischen beiden.
• Ausreisser, ein Balken, den leere Klassen vom Rest trennen: ein Erfassungsfehler, ein Messfehler oder ein reales Ereignis. Die Analystin verfolgt den Wert bis zu seiner Quelle, bevor sie ihn verwirft oder erklärt.

Die Form an den Grenzen messen

Ist die Form benannt, vergleicht die Analystin die Spannweite der Balken mit dem Intervall zwischen den Grenzen. Das NIST nennt dies die grafische Beurteilung der Prozessfähigkeit. Liegt die ganze Verteilung zwischen den beiden Grenzen, hält der Prozess die Toleranz zum Zeitpunkt der Erhebung ein.

Eine Einstellung korrigiert eine Verschiebung. Eine Verteilung, die breiter ist als das Intervall, erzeugt Ausschuss, den keine Einstellung beseitigt: Das Team verringert dann die Streuung oder verhandelt die Toleranz neu. Treten beide Mängel zusammen auf, kommt das Zentrieren zuerst, weil es am wenigsten kostet.

Die Prozessfähigkeit übersetzt diese Deutung in die Kennzahlen Cp und Cpk. Das NIST hält fest, dass diese Kennzahlen normalverteilte Daten aus einem stabilen Prozess voraussetzen. Es verlangt zudem rund 50 unabhängige Werte, um sie zu berechnen. Das Histogramm prüft zuerst die Form: Ein bimodales oder stark schiefes Histogramm verfälscht den Wert der Kennzahlen.

Was das Histogramm nicht zeigt

Das Histogramm verliert die Reihenfolge der Messungen. Ein Prozess, der während der Erhebung driftet, ergibt ein Histogramm mit breiter Glocke, das sich durch nichts vom Histogramm eines stabilen, stark streuenden Prozesses unterscheidet. Die Form sagt die Fertigung von morgen nur voraus, wenn der Prozess stabil ist. Die Regelkarte prüft diese Stabilität. Die Analystin zeichnet beide mit denselben Daten.

Die Analystin vergleicht zwei Histogramme auf derselben Skala und mit denselben Klassen. Enthalten die beiden Erhebungen nicht gleich viele Werte, trägt die vertikale Achse Prozente. Zwei Diagramme, deren Achsen die Software gesetzt hat, täuschen eine Formänderung vor, die nur aus der Klasseneinteilung stammt.

Das Histogramm und seine Nachbarn

KI-Überlegungen

Ein Assistent schreibt den Code, der das Histogramm zeichnet, in Python oder R, mit den Spezifikationsgrenzen und mehreren Klassenbreiten nebeneinander. Die Analystin prüft, ob der Code die richtige Spalte in der richtigen Einheit über den richtigen Zeitraum liest. Sie prüft auch, ob die eingezeichneten Grenzen die der Zeichnung oder des Vertrags sind.

Ein Sprachmodell, dem man Werte in die Unterhaltung kopiert, kann falsche Häufigkeiten liefern, ohne davor zu warnen. Die Analystin zählt in der Tabellenkalkulation oder im Code. Sie prüft, ob die Summe der Häufigkeiten der Anzahl Messungen entspricht.

Das Modell benennt eine Form und schlägt Ursachen vor: zwei Gipfel, also zwei Maschinen. Es weiss nicht, ob die Werkstatt zwei Maschinen hat oder ob sie im Zeitraum den Lieferanten gewechselt hat. Seine Ursachen bleiben Hypothesen, die die Schichtung bestätigt oder verwirft.

Durchlaufzeiten oder Beträge, die sich auf Personen beziehen, sind Personendaten im Sinne des DSG. Bevor die Analystin sie einem externen KI-Dienst übergibt, entfernt sie die Identifikatoren: Das Histogramm braucht nur die Messgrösse.

Beispiele

Ein Histogramm setzt die Fertigung in Bezug zur Toleranz. Ein Décolletage-Betrieb im Jurabogen dreht Wellen mit 4,00 mm Durchmesser, Toleranz ±0,03 mm. Die Qualitätskontrolle misst 100 Wellen einer Maschine während einer Schicht mit einem Feinzeiger, der auf 0,5 µm genau anzeigt. Tabelle und Diagramm tragen die Abweichung vom Nennmass in Mikrometern.

Alle Wellen liegen innerhalb der Toleranz. Der Mittelwert, aus den Klassenmitten berechnet, beträgt 8,1 µm bei einem Sollwert von 0. Der rechte Ausläufer reicht bis auf weniger als 5 µm an die obere Grenze heran, während mindestens 15 µm die unterste Klasse von der unteren Grenze trennen. Die Einstellung um etwa 8 µm zu senken, schafft auf beiden Seiten Reserve, ohne die Streuung zu verändern.

Visualisierungen

Das Histogramm des Beispiels, der Katalog der Formen, der Vergleich der Klassenbreiten und die vier Lagen zu den Grenzen sind Zeichnungen: Die Form der Balken und ihr Platz auf der Skala tragen die Information. Die Häufigkeitstabelle, der Vergleich mit den Nachbarwerkzeugen und der Aufwand bestehen aus Zeilen und Spalten, also aus Tabellen.

Aufwand

Werkzeuge

Vor Ort genügt eine Strichliste. Der Bediener setzt für jede Messung einen Strich in ihre Klasse, und die Strichreihen bilden das Histogramm schon während der Erhebung.

Eine Tabellenkalkulation zeichnet das Histogramm aus einer Spalte von Werten. Der Diagrammtyp Histogramm in Excel berechnet die Klassen und lässt die Analystin ihre Breite einstellen. Er genügt für einen ersten Blick. Er lässt sich mit keinem anderen Diagrammtyp kombinieren und zeichnet deshalb die Grenzen nicht. Um sie einzufügen, berechnet die Analystin die Häufigkeiten mit ZÄHLENWENNS oder HÄUFIGKEIT, zeichnet Säulen ohne Abstand und fügt jede Grenze als Datenreihe vom Typ Punkt (XY) hinzu.

Minitab und JMP zeichnen das Histogramm mit den Grenzen und berechnen die Prozessfähigkeit in derselben Analyse. R und Python erledigen mit ggplot2 oder matplotlib dieselbe Arbeit im Code, den das Team prüft und mit den Daten des Folgemonats erneut ausführt.

Quellen

• Ishikawa, Kaoru, Guide to Quality Control, Asian Productivity Organization, japanische Originalausgabe 1968: das Histogramm unter den sieben elementaren Qualitätswerkzeugen, wie man es erstellt und wie man es liest.
• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.3.14 "Histogram": die Definition, die fünf Fragen, die das Histogramm beantwortet, und die typischen Formen, jede auf einer eigenen Seite beschrieben.
• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, §3.4.6 "Assessing Process Capability": das Histogramm im Vergleich mit den Spezifikationsgrenzen und der Schritt zu den Kennzahlen Cp und Cpk.
• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, §6.1.6 "What is Process Capability?": die Voraussetzungen der Kennzahlen Cp und Cpk, nämlich eine Normalverteilung, ein stabiler Prozess und rund 50 unabhängige Werte.