Analytischer Hierarchieprozess (AHP)

Ziel

Der analytische Hierarchieprozess beantwortet eine genau umrissene Klasse von Entscheidungen: die Wahl zwischen mehreren Optionen, die anhand mehrerer Kriterien beurteilt werden, welche in entgegengesetzte Richtungen ziehen, wenn keine einzelne Zahl, weder Preis noch Punktwert, zur Entscheidung genügt. Kosten gegen funktionale Abdeckung gegen Risiko gegen strategische Passung: Die entscheidende Person spürt, dass ein Kriterium mehr wiegt als ein anderes, ohne sagen zu können, um wie viel, und dieses um wie viel liefert der AHP. Das BABOK ordnet die Technik den Ansätzen der Entscheidungsanalyse zu (§10.16), neben der Entscheidungsmatrix und der Pro-Kontra-Analyse, als Werkzeug für die Wahl unter mehreren Kriterien.

Die Methode leistet dreierlei, was eine direkte Gewichtung nicht leistet. Sie zerlegt das Problem in eine Hierarchie aus Ziel, Kriterien und Optionen, was jedes Urteil isoliert. Sie leitet die Kriteriengewichte aus Paarvergleichen ab, weil ein Mensch zwei Elemente zuverlässiger vergleicht, als er sieben auf einmal einen Prozentsatz zuweist. Sie prüft diese Urteile über ein Konsistenzverhältnis, ein Mass ihres inneren Widerspruchs. Das Ergebnis ist eine geordnete Menge von Optionen, gestützt auf vertretbare Kriteriengewichte und auf den zahlenmässigen Nachweis, dass die Urteile, die sie erzeugt haben, in sich stimmig sind.

Einsatz

Wann einsetzen

• Folgenreiche Wahl anhand widersprüchlicher, teils immaterieller Kriterien: Kosten, Qualität, Risiko und Passung, die kein einzelner Betrag trennt.
• Umstrittene oder unscharfe Kriteriengewichte: Die Beteiligten können nicht «40%» sagen, aber beurteilen, dass ein Kriterium ein anderes klar überwiegt.
• Entscheidung, die vertretbar und nachprüfbar sein muss: eine Beschaffung oder ein Governance-Abwägen, bei dem die Begründung sichtbar ist, gestützt auf das Konsistenzverhältnis.
• Gruppenentscheidung mit auseinandergehenden Prioritäten: Die Vergleiche werden je beteiligter Person erhoben und dann über das geometrische Mittel aggregiert.

Wann nicht einsetzen

• Kostengünstige oder umkehrbare Entscheidung: Der Aufwand der Paarvergleiche steht ausser Verhältnis, besser eine gewichtete Entscheidungsmatrix oder eine Pro-Kontra-Analyse.
• Viele Kriterien oder viele Optionen: Die Zahl der Vergleiche explodiert und die Ermüdung verfälscht die Urteile, besser eine für den Massstab ausgelegte multikriterielle Entscheidungsanalyse.
• Von Unsicherheit und Zufall bestimmte Fragestellung: Der AHP gewichtet Präferenzen, er modelliert keine Wahrscheinlichkeit, besser ein Entscheidungsbaum unter der Entscheidungsanalyse.

Beschreibung

Die Entscheidung als Hierarchie strukturieren

Alles beginnt mit einer dreistufigen Hierarchie. Das Ziel steht an der Spitze, in einer einzigen Aussage: die Software wählen, den Anbieter auswählen, die Lösungsoption festlegen. Die Kriterien bilden die mittlere Ebene, die Faktoren, an denen die Wahl beurteilt wird, und ein Kriterium kann sich selbst in Unterkriterien aufteilen, wo es nötig ist. Die Optionen stehen unten, die konkreten Kandidaten, die je gegen jedes Kriterium bewertet werden. Diese Zerlegung trennt Urteile, die vermischt einander verunreinigen würden, und macht jeden Vergleich lokal und damit handhabbar.

Die Vergleichsmaschinerie greift innerhalb dieser Struktur zweimal. Ein erstes Mal, um die Kriterien gegeneinander zu gewichten, was die relative Bedeutung jedes Kriteriums ergibt. Ein zweites Mal, Kriterium für Kriterium, um die Optionen unter diesem Kriterium miteinander zu vergleichen, was die relative Leistung jeder Option auf jedem ergibt. Die Endrangfolge verbindet beides: Der Punktwert einer Option ist die Summe, über alle Kriterien, ihres Gewichts unter dem Kriterium multipliziert mit dem Gewicht des Kriteriums. Am einfachsten lässt sich der Mechanismus an der Gewichtung der Kriterien zeigen, wobei die Rangfolge der Optionen dieselbe Arithmetik verwendet.

Paarweise auf Saatys Fundamentalskala vergleichen

Für jedes Paar von Elementen derselben Ebene beurteilt die entscheidende Person die Intensität, mit der das eine das andere überwiegt, auf Saatys Fundamentalskala von 1 bis 9. Eine 1 nennt gleiche Bedeutung, eine 3 eine mässige Bedeutung des einen über das andere, eine 5 eine starke Bedeutung, eine 7 eine sehr starke Bedeutung, eine 9 eine extreme Bedeutung. Die geraden Werte, 2, 4, 6 und 8, dienen als Zwischenstufen, wenn ein Urteil zwischen zwei Kerben fällt. Diese Urteile füllen eine quadratische Matrix der Dimension n für n verglichene Elemente, geregelt durch drei Regeln. Die Diagonale ist 1, da jedes Element sich selbst gleich wichtig ist. Die Matrix ist reziprok: Überwiegen Kosten den Support mit der Intensität 5, so gilt Support gegenüber Kosten 1/5, und jede Zelle unter der Diagonale ist der Kehrwert ihrer Spiegelzelle. Daraus folgt, dass die entscheidende Person nur die Zellen oberhalb der Diagonale eingibt, also n(n − 1)/2 Vergleiche: Drei Kriterien verlangen 3, sieben verlangen 21, zehn verlangen 45. Diese Zahl allein bestimmt den Aufwand der Technik und ihre Grenze im Massstab.

Die Prioritätsgewichte ableiten

Die Urteilsmatrix wird in einen Prioritätsvektor umgewandelt, ein Gewicht je Element, dessen Summe 1 ergibt. Die exakte Form ist der Haupteigenvektor der Matrix, der Eigenvektor zum grössten Eigenwert, und diesen berechnet eine Software. Von Hand genügt eine Näherung in drei Schritten und erhellt die Logik. Summieren Sie jede Spalte. Normieren Sie jede Zelle, indem Sie sie durch ihre Spaltensumme teilen, sodass jede Spalte nun 1 ergibt. Mitteln Sie jede Zeile der normierten Matrix, und diese Zeilenmittel sind die gesuchten Gewichte, die sich zu 1 summieren. Diese Näherung über das Mittel der normierten Spalten ist exakt, wenn die Matrix vollkommen konsistent ist, und sonst sehr nahe am Eigenvektor: Sie ist die richtige Methode für ein von Hand lesbares Beispiel, sofern angekündigt wird, dass es sich um eine Näherung des Eigenvektors handelt.

Die Konsistenz prüfen

Menschliche Urteile haben keinen Grund, vollkommen transitiv zu sein. Sind Kosten doppelt so viel wert wie Support und Support dreimal so viel wie etwas anderes, so verlangte strenge Konsistenz ein Verhältnis von sechs, doch eine Person mag vier oder acht sagen. Der AHP verbietet es nicht, er misst es. Zuerst wird λmax berechnet, der grösste Eigenwert: von Hand multipliziert man die Matrix mit dem Gewichtsvektor, teilt jede Komponente des Ergebnisses durch das entsprechende Gewicht und mittelt. Für eine konsistente Matrix ist λmax gleich n, und es ist stets grösser oder gleich n. Daraus ergibt sich der Konsistenzindex, CI = (λmax − n)/(n − 1), dann das Konsistenzverhältnis, CR = CI/RI, wobei RI Saatys Zufallsindex ist, der durchschnittliche CI einer grossen Zahl zufällig gefüllter reziproker Matrizen derselben Ordnung. Seine Referenzwerte sind 0,58 für n = 3, 0,90 für n = 4, 1,12 für n = 5 und 1,24 für n = 6 (n = 1 und n = 2 sind trivial konsistent, RI ist dort 0 und das Verhältnis lässt sich nicht berechnen). Die übliche Schwelle ist CR ≤ 0,10: darunter sind die Urteile konsistent genug, um beibehalten zu werden, darüber muss das widersprüchlichste Urteil gefunden und überarbeitet werden.

Die Fallstricke

Was das Konsistenzverhältnis abdeckt

Das Verhältnis misst die innere Konsistenz der Urteile. Eine frei erfundene Matrix kann vollkommen konsistent und vollkommen falsch sein: Ein tiefer CR bestätigt die Logik der Vergleiche; über die Präferenzen, die sie ausdrücken, sagt er nichts.

Explosion der Vergleiche

Die n(n − 1)/2 Vergleiche, multipliziert mit einer Runde von Optionen unter jedem Kriterium, sättigen die entscheidende Person rasch, und eine ermüdete Person füllt die Matrix zufällig. Das ist die Massstabsgrenze der Technik.

Rangumkehr

Das Hinzufügen oder Entfernen einer Option kann nicht betroffene Optionen umordnen, ein kontraintuitiver Effekt, der der Synthese durch Aggregation eigen ist. Legen Sie die Menge der Optionen vor dem Vergleich fest und misstrauen Sie einer Rangfolge, die kippt, wenn die Liste sich ändert.

Falsche Präzision

Gewichte mit drei Nachkommastellen aus groben verbalen Urteilen kleiden eine Meinung als Messung. Die Zahlen sind nur so solide wie die Vergleiche, die sie speisen.

KI-Überlegungen

Der AHP hat einen rein arithmetischen Kern und eine unhintergehbar menschliche Schicht, und die Grenze zwischen beiden sagt, wo Unterstützung nützt und wo sie schadet. Auf der arithmetischen Seite ist die Hilfe eindeutig. Den Eigenvektor, λmax, den Konsistenzindex und das Konsistenzverhältnis zu berechnen ist Arbeit, welche die Maschine fehlerfrei und augenblicklich erledigt, wo die Berechnung von Hand mühsam und fehleranfällig ist. Ein Werkzeug meldet auf der Stelle einen CR über 0,10 und, besser noch, es benennt das inkonsistenteste Urteil und schlägt die Überarbeitung vor, die das Verhältnis am stärksten senken würde, da Saatys Reparaturlogik algorithmisch ist. Bei einer Gruppenentscheidung aggregiert es über das geometrische Mittel die Matrizen mehrerer Beteiligter und hebt die Paare hervor, bei denen sie am stärksten auseinandergehen. Vorgelagert schlägt ein Sprachmodell einen ersten Entwurf von Kriterien und Unterkriterien aus einer Problemstellung vor, den die Analystin danach beschneidet.

Die menschliche Schicht lässt sich nicht delegieren. Die Paarvergleiche sind die Präferenzen der Beteiligten: «um wie viel zählen Kosten mehr als Support» ist ein Werturteil, das der AHP gerade bei jenen erheben soll, denen die Entscheidung gehört. Ein von einer KI erzeugter Vergleich liefert ein mathematisch sauberes und auf nichts gegründetes Ergebnis, und das Konsistenzverhältnis erkennt es nicht, da eine erfundene Matrix konsistent sein kann. Die Wahl der Kriterien selbst, welche zählen und wem sie gehören, ist die Rahmenentscheidung: Sie einem Werkzeug zu überlassen vergräbt eine Werteabwägung in einer Mechanik. Die Maschine hält die Arithmetik und die Diagnosen, sie liefert nicht die Prioritäten.

Beispiele

Ein KMU der Westschweiz wählt ein gehostetes Projektmanagement-Werkzeug. Bevor es die Anbieter ordnet, gewichtet es seine drei Kriterien gegeneinander: die Kosten, die Funktionen und den lokalen Support. Die Urteile lauten so: Kosten überwiegen Funktionen mässig (3) und Support stark (5), Funktionen überwiegen Support mässig (3). Diese drei Urteile oberhalb der Diagonale genügen, um die Matrix zu füllen, wobei die Diagonale 1 ist und die unteren Zellen die Kehrwerte sind.

Die Gewichte lesen sich in einem Satz: Die Kosten beherrschen die Entscheidung, mit nahezu 63%, die Funktionen folgen, mit 26%, der lokale Support bleibt ein ergänzendes Kriterium, mit 11%. Das Konsistenzverhältnis, mit 0,033, hält deutlich unter der Schwelle von 0,10, also sind die drei Urteile stimmig und die Gewichte werden unverändert beibehalten. Es sind diese Gewichte, die dazu dienen, die Punktwerte der Anbieter zu verbinden, wobei jeder Anbieter unter jedem Kriterium durch dieselbe Mechanik mit den anderen verglichen wurde, um die Endrangfolge zu erzeugen. Ein CR, der 0,10 überschritten hätte, hätte die entscheidende Person an ihre Matrix zurückverwiesen, um den Vergleich zu finden, der den beiden anderen widerspricht, und ihn neu zu setzen, vor jeder Rangfolge.

Visualisierungen

Zwei Darstellungen tragen die Technik, und sie zeigen zwei verschiedene Dinge. Die Hierarchie aus Ziel, Kriterien und Optionen, in verbundenen Kästchen, zeigt die Zerlegung, die den AHP definiert: ein einziges Ziel oben, die Kriterien in der Mitte, die Optionen unten, jede Option mit jedem Kriterium verbunden. Sie ist das Modell der Entscheidung, jenes, das sagt, wo die Vergleiche greifen, und sie dient ebenso als Titelbild wie als Orientierung im Text.

Die Vergleichsmatrix und ihre Gewichte, in Zeilen und Spalten, ist das Artefakt, das die Technik erzeugt, und deshalb wird sie als Tabelle wiedergegeben: die paarweisen Urteile, die Kehrwerte unter der Diagonale, die Spalte der abgeleiteten Gewichte und, in der Legende, das Konsistenzverhältnis, das bezeugt, dass die Urteile stimmig sind. Eine prüfende Person berechnet die Gewichte und das Verhältnis allein aus den Urteilszellen neu, was eine Tabelle erlaubt und ein Bild verböte.

Aufwand

Werkzeuge

Die Tabellenkalkulation genügt für eine bescheidene Hierarchie: Ein Blatt hält die Matrix, die Spaltensummen, die Normierung, das Zeilenmittel und die Berechnung von λmax, des Index und des Konsistenzverhältnisses, und alles wird neu berechnet, sobald ein Urteil sich ändert. Sie ist das Werkzeug des ersten Durchgangs und des Lehrbeispiels.

Eigene AHP-Software (Super Decisions, herausgegeben von Saatys Creative Decisions Foundation, Expert Choice, die AHP-Erweiterung der Familie der Entscheidungswerkzeuge) hält die vollständige Hierarchie, berechnet den exakten Eigenvektor statt der Näherung, meldet das inkonsistenteste Urteil und bewältigt die Aggregation mehrerer Entscheidender. Sie setzt sich durch, sobald die Kriterien, die Unterkriterien und die Optionen sich vervielfachen.

Die breiteren Plattformen für multikriterielle Analyse und Entscheidungsunterstützung binden den AHP neben anderen Gewichtungs- und Rangordnungsmethoden ein, nützlich, wenn die Organisation das AHP-Ergebnis mit dem eines anderen Ansatzes vergleichen will, oder wenn der AHP nur dazu dient, die Gewichte eines grösseren Entscheidungsmodells zu erzeugen.

Quellen

• IIBA, A Guide to the Business Analysis Body of Knowledge (BABOK Guide) v3, §10.16 Decision Analysis: die Einordnung des AHP unter die Ansätze der Entscheidungsanalyse bei mehreren Kriterien. Das BABOK benennt die Technik und ordnet sie ein, es beschreibt nicht ihre Mechanik, die Saatys ist.
• Thomas L. Saaty, A scaling method for priorities in hierarchical structures, Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 1977, 234-281: der grundlegende Aufsatz, die Fundamentalskala von 1 bis 9, die Prioritäten über den Eigenvektor und das Konsistenzmass.
• Thomas L. Saaty, The Analytic Hierarchy Process: Planning, Priority Setting, Resource Allocation, McGraw-Hill, 1980: das Werk, das die Methode benennt und kodifiziert, die Hierarchie, die Paarvergleiche, die Synthese der Prioritäten und den Zufallsindex.
• Thomas L. Saaty, Decision making with the analytic hierarchy process, International Journal of Services Sciences, 1(1), 2008, 83-98: die kompakte und späte Neufassung der Methode, Hierarchie, Vergleiche, Prioritäten, Konsistenz und Synthese, und die Schwelle von 0,10 für das Konsistenzverhältnis.